Giải toán 7 Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

§3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.
BẤT ĐANG thức tam giác
Tóm tắt kiến thức
Hình 3.20
Ví dụ giải toán
Ví dụ. Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không? a) 7cm ; 3cm ; 1 lcm.
4cm ; 7cm ; 6cm.
9cm ; 5cm ; 4cm.
Giải, a) Ta có 7 + 3 = 10 < 11, do vậy không tồn tại tam giác mà độ dài ba cạnh là 7cm; 3cm; 1 lem.
Cách /: Ta có 4 7, do vậy có thế tồn tại một tam giác có ba cạnh là 4cm ; 7cm ; 6cm.
Cách 2: Ta có 4 7 - 6, do vậy có thể tồn tại một tam giác có ba cạnh là 4cm ; 7cm ; 6cm.
Ta có 5 + 4 = 9 do vậy không tồn tại tam giác mà độ dài ba cạnh là 9cm ; 4cm ; 5cm.
Nhận xét. Khi xét độ dài ba đoạn thắng có thoả mãn bất đẳng thức tam giác hay không ? bạn chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng độ dài hai đoạn còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại.
c. Hưỏng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 15. Giải.
Bộ ba đoạn thẳng này không thể là ba cạnh của một tam giác vì
2 + 3 <6.
Bộ ba đoạn thắng này không thể là ba cạnh của một tam giác vì
2 + 4 = 6.
Bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác vì 3 + 4 > 6 (độ dài đoạn lớn nhất nhỏ hơn tống độ dài của hai đoạn kia). Dung tam giác có độ dài ba cạnh bằng 3, 4, 6. Xem hình 3.21.
Bài 16. Giải. Theo bất đẳng thức tam giác:
AG - BC < AB < AC + BC o 7 - 1 < AB < 7 + 1 o6< AB< 8.
Vì độ dài AB là một số nguyên xentimet nên AB - 7cm. Tam giác ABC cân tại A.
Nhận xét. Về mặt phương pháp: Để xác định khoảng giá trị của một cạnh, ta dùng bất đẳng thức Ịb-c|<a<b + c.
Bài 17.
Hình 3.22
Giải, (h.3.22)
a) Tam giác MAI có MA < MI + IA (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác).
Cộng thêm MB vào hai vế ta có MA + MB < MB + MI + IA suy ra MA + MB < IB + IA (1).
Tam giác IBC có IB < IC + CB (quan hệ giữa ba cạnh cúa một tam giác). Cộng thêm IA vào hai vế ta có
IB + IA IB + IA < CA + CB (2).
Từ (1) và (2) suy ra MA + MB < CA + CB.
Nhận xét. Bài toán trên ngoài việc sử dụng bất đảng thức tam giác, còn sử dụng các bất đẳng thức đại số sau
a<b«a + c<b + c, a<bvàc<d suy ra a + c < b + d.
Bài 18. G/ử/. (h.3.23)	A
a) Vẽ tam giác có độ dài các cạnh 2cm,
3cm, 4cm, như sau:
Dùng thước kẻ vạch một đường thẳng ~	4
a.	Hình 3.23
Trên a chọn điểm B tuỳ ý.
Dùng compa vẽ đường tròn (B; 4cm), đường tròn này cắt đường thắng a tại điếm c.
Vẽ các đường tròn (B; 2cm) và (C; 3cm) các đường tròn này cắt nhau tại A.
Nối AC và ẠB ta được tam giác ABC có các cạnh dài lần lượt 2cm, 3cm và 4cm.
Bài 19.
Bài 20.
Bài 21.
Chủ ý: Vẽ các đường tròn với bán kính 2cm, 3cm và 4cm có thể theo một thứ tự tuỳ ý.
b) c) Không thể vẽ các tam giác với độ dài ba cạnh là bộ ba số lcm; 2cm; 3,5cm và 2,2cm; 2cm; 4,2cm vì các bộ ba số này.,không thoả mãn các bất đẳng thức tam giác (1 + 2 < 3,5; 2,2 + 2 = 4,2).
Trên thực tế khi vẽ các đường tròn như ở phần a) chúng không cắt nhau.
Giải. Cạnh thứ ba của tam giác cân bằng một trong hai cạnh kia.
Loại trường hợp cạnh thứ ba bằng 3,9cm vì 3,9 + 3,9 < 7,9.
Vậy cạnh thứ ba bằng 7,9cm.
Chu vi của tam giác 7,9 + 7,9 + 3,9 = 19,7 (cm).
Nhận xét. Bài toán trên độ dài chưa cho tường minh về cạnh bên hay cạnh đáy thì cần phải xét hai trường hợp.
Giải, (h.3.24)
Trong tam giác vuông AHB cạnh huyền AB là lớn nhất, do đó
BH<AB(1).
Trong tam giác vuông AHC, ta có
CH < AC (2).
Từ (1) và (2), ta có: BH + CH < AB + AC
Vì AB < BC nên AB < BC + AC
Tương tự ta có AC < BC, do đó AC < BC + AB.
BC < AB + AC
Giải, (h.3.25) Gọi d là bờ sông gần khu dân cư, c là giao điểm của d và đoạn thẳng AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc d.
- Nếu M không trùng với c thì xét tam giác MAB ta có MA + MB> AB(1).
- Nếu M trùng với c thì MA + MB = CA + CB = AB (2).
So sánh (1) và (2) ta thấy điểm c ở vị trí giao điểm của AB và d thì độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
Nhận xét. Từ bài toán trên, ta có bài tổng quát sau: Cho ba điểm A, B, M bất kì thì AM + BM > AB, đẳng thức chỉ xảy ra khi M thuộc đoạn
AB (quy tắc ba điểm).
22. Giải, (h.3.26)
Để trả lời câu hỏi của bài toán, ta cần xét khoảng cách BC.
Ta có AB - AC < BC < AB + AC
<» 90 - 30 < BC < 90 + 30 o 60 < BC < 120.
Như vậy:
Nếu máy phát sóng ớ c có bán kính hoạt động bằng 60km thì ở B không nhận được tín hiệu vì BC > 60km.
Nếu máy phát sóng ớ c có bán kính hoạt động bằng 120km thì ở B nhận được tín hiệu vì BC < 120km.
Hình 3.26
D. Bài tạp luyện thêm
Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm cạnh AB, AC. Chứng minh rằng BC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Có một con kiến muốn leo từ đỉnh A của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' tới đính đối diện C của hình lập phương này. Hỏi rằng con kiến phải leo theo con đường nào để đường đi của nó ngắn nhất, và có bao nhiêu con đường ngắn nhất như vậy nối hai đỉnh này?
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên cạnh Ox lấy A và B sao cho OA < OB. Trên cạnh Oy lấy c và D sao cho oc < OD.
Chứng minh AB + CD < AD + BC.
Hình 3.27
Chu vi cua một tam giác cân là 30cm, độ dài một cạnh là 6cm. Tính độ dài hai cạnh còn lại.
Lời giải - Hướng dẩn - Đáp số
(h.3.27) Áp dụng bất đắng thức tam giác trong các tam giác BMC và MNC ta có BM + MC > BC; MN + NC > MC.
C'
Suy ra MN + NC + BM > BC do đó MN + NA + AM > BC.
(h.3.28) Giả sử khi đi từ A đến c con kiến đi qua cạnh A'B'. Khi đó, ta dựng mặt A'B'C'D' đứng lên thì AM + MC' > AC.
Vậy AM + MC ngắn nhất là bằng ACịkhi M trùng với trung điểm của A'B'.
Hình 3.28
Tương tự, đường đi ngắn nhất có thể đi qua trung điểm cạnh BB'; CD; BC; DD'; A'D'.
Tất cả có 6 con đường.
(h.3.29) Gọi I là giao điểm của AD và BC.
Tam giác ABI có AB AB + CD AB + CD < AD + BC.
Giả sử tam giác ABC có AB = AC thoả mãn điều kiện;
Nếu AB = AC = 6cm thì BC = 30 - 6 - 6 = 14cm suy ra AB + AC < BC (vì 6 + 6 < 14) do đó không xảy ra.
Nếu BC = 6cm thì AB + AC = 24cm suy ra AB = AC = 12cm nên AB + BC > AC (12 + 6 > 12) do đó hai cạnh còn lại là AB = AC = 12cm.