Giải toán 11 Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 e (a; b).
	 ,	f(x)-f(x0)
Neu ton tại giới hạn (hữu hạn): lim ——-—-
X-*XQ x-x0
Xo)), tức là
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và kí hiệu là f'(x0) (hoặc y'
. .	f(x)-f(x0)
x->x0 X - Xq
bằng định nghĩa
f'(x0) = lim 1 v Q’
Cách tính đạo hàm
Quy tắc
Bước 1. Giả sử Ax là số gia của đối sô' x0, tính Ay = f(x0 + Ax) - f(x0).
BƯỚC 2. Lập tỉ số — .
Ax
Bước 3. Tìm lim —.
Ax->0 Ax
Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí 1: Nếu hàm sô' y = f(x) có đạo hàm tại Xo thì nó liên tục tại điểm đó.
Ỷ nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x0 e (a; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.
Định lí 2: Đạo hàm của hàm số y - f(x) tại điểm Xo là hệ số góc của tiếp tuyến M0T củá (C) tại điểm M0(x0; f(x0)).
Định lí 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm sô' y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là y - y0 = f'(x0)(x - Xo), trong đó y0 = f(x0).
Ỷ nghĩa vật li
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của
hàm sô' s = s(t) tại t0:	v(t0) = s'(t0).
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to là đạo hàm của hàm sô Q = Q(t) tại t0: l(t0) = Q'(tũ).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Tìm số gia của hàm số f(x) = X3, biết rằng: a) Xo = 1; Ax = 1;
b) Xo = 1; Ax = -0,1.
ốỹÂl
Ay = f(x0 + Ax) - f(x0) = f(2) - f(l) = 23 - l3 = 7
Ay = f(x0 + Ax) - fíx0) = f(0, 9) - f(l) = (0, 9)3 - l3 = - 0,271
Tinh Ay và — của các hàm số sau theo X và Ax:
AX
y = 2x-5;	b)y = x2-1;	c) y=2x3;	d)y=-.
X
Ay = f(x + Ax) - f(x) = 2(x + Ax) - 5 - (2x - 5) = 2Ax => — - 2.
Ax
Ay = fíx + Ax) - fix) = (x + Ax)2 -1 - X2 + 1 = Ax (2x + Ax) => — = 2x + Ax.
Ax
Ay = f(x + Ax) - f(x) = 2(x + Ax)3 -2x3 = 2Ax[3x2 + 3x Ax + (Ax)2 ]
=> 4^- = 2[3x2 + 3xAx + (Ax)2]
Ax
2 + Ax 2	2(2+ Ax)
Ay _	-1
Ax 2(2 + Ax)
X A..	ÍU..1 iYnA Ax + l , 2AX
c) Ay = f(Ax) - ÍĨO) = ——— +1 =
Ay
Ax -1
4. Chứng minh rằng hàm sô' f(x) =
nhưng có đạo hàm tại điểm X = 2.
Ax -1 2
Ax Ax -1
• f'(0) = -2
(x-l) nếu x>0
nếu X < 0
không có đạo hàm tại điểm X = 0
f'(2) = lim = lim —-ỉ— = - ị ax->0Ax axAo2(2 + Ax) 4
Ta có: lim f(x) = lim (x - l)2 = 1 và lim f(x) = lim (-x)2 = 0.
X—>0*	x->0T	x-»0“	x-»0”
Vậy hàm sô' y = f(x) gián đoạn tại X = 0. Từ đó suy ra hàm sô' không có đạo hàm tại X = 0.
_	_ f(x + Ax)-f(2)	(l + Ax)2-l2
Ta có: lim —	— = lim 	—	 = lim (2 + Ax) = 2.
Ax-»o	Ax	Ax—>0	Ax	Ax—»0
Vậy hàm sô' y = f(x) có đạo hàm tại X = 2 và f' (2) = 2.
Viết phương trình tiếp tuyến cùa đường cong y = X3
Tại điểm (-1;-1);
Tại điểm có hoành độ bằng 2;
Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
ố^iầí
Ta có f'(xo) = lim
Ax->0 Ax
lim f(x0 +Ax)-f(x0) Ax-*o	Ax
lim (x0 + Ax)3 - xg Ax-»o	Ax
= lim (x0 + Ax)2 + x0 (x0 + Ax) + Xq = 3xổ Ax-»oL'	J
Xo = -1; y0 = -1; f'(-l) = 3
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại (-1; -1) là:
y - yo = f'(xo)(x - Xo) y + 1 = 3(x + 1) y = 3x + 2;
Xo = 2 => y0 = 23 = 8; f'(2) = 3.22 = 12
x0 =1 Xa = -1
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ bằng 2 là y - 8 = 12(x - 2) Õ y = 12x - 16.
c) Ta có f ’(x0) = 3 3 X2 = 3 * Với Xo = 1 ta có y0 = 1. Phương trình tiếp tuyến là
y - 1 = 3(x - 1) o y = 3x - 2 * Với x0 = -1 ta có y0 = -1. Phương trình tiếp tuyến là
y + 1 = 3(x + 1) y = 3x + 2
Viết phương trinh tiếp tuyến của đường hypebol y = -
Tại điểm ^2’2] ’
Tại điểm có hoành độ bằng -1;
Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng - — .
f'(x0) = lim — = lim Ax->0 Ax	Ax—>0
ỐỊiải
JL	 _1_
x0 + Ax Ax0
Ax
lim — Ax—»0 x0
-1
(x0+Ax) X2
Xo = I; y0 = 2
Phương trình tiếp tuyến là: y - 2 = -4(x - ỉ ) y = -4x. + 4
Ta có Xo = -1 => y0 = -1; f'(-l) = -1
Phương trình tiếp tuyến là: y + 1 = -1 (x + 1) y = -X - 2
f'(x0) = -Ậ -A- = -Ậ xồ = 4 o Xo = ±2
xẵ 4
Với Xo = 2 ta có y0 = 7 . 2
Phương trình tiếp tuyến là:y -	= - -^-(x-2)y = -^-x+l
Với Xo = -2 ta có y0 = - 7
2
Phương trình tiếp tuyến là: y + 7=-Ậ(x + 2)y = -Ậx-l.
2	4	4
Một vật rơi tự do theo phương trình s = A gt2, trong đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.
Tìm vận tốc trung binh của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + At, trong các trường hợp At = 0,1 s; At = 0,05 s; At = 0,001 s.
Tim vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.
Ốjiải
a) Vận tốc trung bình của chuyển động là:
As s(t + At)-s(t) 1 (t + At)2-t2	1	s 1
T7 = 	= ỉ g 	= í g-(2t + At) - ỉ g.(10 + At)
At	At	2	At	2	2
Với At = 0,1 thì 77 = 7 g-10,í = 49,49 (m/s)
At 2
Với At = 0,05 thì 4? = I g. 10,05 = 49,245 (m/s)
•	At 2
Với At = 0,001 thì	= I g. 10,001 = 49,0049 (m/s)
At 2
Q	As 1
b) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s : V = S’(5) = lim —- = Ag.10 =49 (m/s).
At—>0 At	2
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
a) y = cosx;
b) y =
7 tại x0 = 0.
1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số: 1 + Ịx|
Đáp sô': a) - sinx;	b) f(0) = 1.
Cho f(x) = X2 + 3 |x - 11. Tính f'(2), f'(-2)
Hàm số có đạo hàm tại X = 1 không?
Đáp số: f'(2) = 7, f'(—2) = -7, f không có đạo hàm tại X = 1.
3. Cho hàm số f(x) =
■Ự2-X2 khi-V21
Tìm b, c để hàm số f có đạo hàm tại X = 1.
•Hướng 2ẫn
Từ điều kiện f liên tục tại X = 1 => b + c = 0.
Đạo hàm hai phía bằng nhau suy ra 2 + b = -1. Vậy b = -3, c = 3.
Cho y = X2 - 2x + 3. Viết phưong trình tiếp tuyến:
Tại điểm có hoành độ x0 = 1
Song song với đường thẳng 4x - 2y + 5 = 0
Vuông góc với đường thẳng X + 4y = 0
Hợp với trục Ox một góc 45°.
Đáp sô': a) y = 2;	b) y = 2x - 1;	c) y = 4x - 6.