Giải toán 11 Ôn tập cuối năm
ÔN TẬP CUỐI NĂM 1. Cho hàm số y = Cơs2x. a) Chứng minh rằng Cơs2(x + kn) = Cơs2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x. . , ...... 71 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đó thị (C) tại điếm có hoành độ X = —. 3 c) Tìm tập xác định của hàm số z -cos2x + cos2 2x Ốịi.ải Ta có cos2(x + krc) = cos(2x + k2x) = cos2x, VkeZ Học sinh tự vẽ đồ thị (C) hàm số y = cos2x y = cos2x => y' = -2sin2x Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại X = là 3 r-4-ỉ) y = —s/3x - Tly/3 1 3 2 c) Hàm sô' z xác định 1 - cos2x > 0 cos2x < 1, đúng Vx Ễ R Vậy tập xác định D = R. 5 2. Cho hàm số y a) Tính A = 6 + 7sin2x 5 , biết rằng tana = 0,2. 6 + 7sin2a Tính đạo hàm của hàm sô' đã cho. Xác định các khoảng trên đó y' không dương. ốỊiải a) Ta có sin2a = 2tana - 20,2 2 tan a 2.0,2 _ 5 1 + tan2 a _ 1 + (0,2)2 - 13 Do đó A = 6 + 7,- 65 113 15 y' - ~5(6 + 7sin2x)' _ -70 COS 2x (6 + 7sin2x)2 (6 + 7sin2x)2 y' cos2x > 0 + k2ĩt < 2x < + k27t 2 2 (cos^--3sinxjsinx + ^1 + sin-j-3cosx^ cosx = 0 éỹiải a) 2sin-^-cos2x - 2sin —sin2x = cos2x - sin2x 2 2 2sin (cos2x - sin2x) = cos2x - sin2x 2 o 2sincos2x - cos2x = 0 cos2x 2sin-Ẹ-l = 0 2 l 2 J COS 2x = 0 X _ 1 2 2 2x = -7 + kx 2 77 = -7- + k2x (k e Z) o 2 6 X _ 5ti -r = -7- + k2n 2 6 71 , 7t X = —+ k-r X = 77 + k47t , (k e Z) 3 X = —- + k47i 3 3 A 3cosx + 4sinx = 5 o 7 coxs + 77 sinx = 1 5 5 cosx cosa + sinx sina = 1 (với cosa = — ; sina = —) 5 5 cos(x -a) = 1 X - a = k27t X = a + k27t sinx + cosx = 1 + sinxcosx 1 + sinx.cosx - sinx - cosx = 0 71 (1 - sinx)(l - cosx) = 0 d) yjl - cos X = sinx sinx = 1 cos X = 1 sinx > 0 1 - cos X = sin2 X x = -? + k27i „ 2 ; (k 6 Z) X = k27i sinx > 0 1-cosx = 1 — cos2 X sinx > 0 - sinx = 0 COS X = 0 cos X = 1 cos X = 1 L X = + k27i 2 X = k27t Vì X e [71; 371] nên tập nghiệm s = |27i;-^p-Ị. cos— - 3sinX sinx + i + sin— - 3COSX cosx = 0 Ị 4 J I 4 J sinxcos — + cosxsin — + cosx - 3(sin2x + cos2x) = 0 4 4 /" X A 5x o sin x + — + cosx - 3 = 0 sin-— + cosx = 3. Vi sin ^-— < 1, cosx < 1 nên phương trình vô nghiệm s = 0 4 Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ. nếu mỗi ca gồm: Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ? Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ? Ốịíải a) Cách phân công ca mổ gồm một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ là sô" chỉnh hợp chập 2 của 40 phần tử. Vậy có p* = "40 - 40! 38! = 39.40 = 1560 cách b) Có 40 cách chọn 1 bác sĩ mổ Có C39 cách chọn 4 bác sĩ phụ trong 39 bác sĩ còn lại. Vậy có 40. Cgg cách chọn 1 bác sĩ mổ và bô'n bác sĩ phụ. Tìm số hạng không chứa a trong khai triển cùa nhị thức I -V + a2 I . tfiai (ì -\ Một tiểu đội có 10 người được xếp thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác suất sao cho: A và B đứng liền nhau; Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và người kia đứng ở vị trí cuối cùng. 6jiải Ta có n(Q) = 10! X là biến cô' A và B đứng liền nhau thì n(X) = 2.9! = p(X) = =£1=^4 n(Q) 10! 5 Y là biến cô': “Hai người A, B có 1 người đứng ở vị trí sô' 1 và người kia đứng ở cuối cùng” thì n(Y) = 2.8! 10 , ( 1 \10_k , 10 „2k Tacó ± + a" -gcfji va J k=0 va 7 k=0 a Sô' hạng không chứa a ứng với k thỏa: 2k = 30 - 3k 5k = 30 k = 6 Sô' hạng không chứa a là C®0. Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm có sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao cho: a) Cà ba học sinh đều là nam. b) Có ít nhất một nam. p3 '-'10 n(Q) Sô' phần tử của không gian mẫu là: n(Q) = Cj0 a) Gọi A là biến cô' cả ba học sinh đều là nam thì n(A) = Cg ,P,A,^Í í? b) Gọi B là biến cô' “có ít nhất một nam” thì B là biến cô': “cả ba đều là nữ” — — nÍBÌ p3 Ta có P(B) = 1 - P(B) = 1 L2 = l-±x n(Q) c?o Do đó p(Y) = n(Y) 2.9! 1 n(Q) " 10! " 45 Tìm cấp sô' cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu cùa nó bằng 27 và tổng các bình phương của chúng bằng 275. Óịiải Ta có: Ui + U2 + U3 = 27 Ui + (ui + d) + (ui + 2d) = 27 Ui + d = 9 » d = 9 - Ui. Từ đó, thay vào phương trình uỉ +u| 4-ui = 275 o U? + (ui + d)2 + (ui + 2d)2 = 275 3 U2 + 6uid + 5d2 = 275 Ta được: 2 U2 — 36ui + 130 = 0. Giải phương trình, ta được: Ui = 13 hoặc Ui = 5. Vìd = 9-Ui = 9-I3<o không thỏa mãn điều kiện cấp số cộng tăng, do đó phải loại trường hợp này. Vậy: Ui = 5, d = 4. Cho biết trong một cấp số nhân hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào sô' hạng thứ nhất, thêm 8 vào sô' hạng thứ hai còn giữ nguyên sô' hạng thứ ba thì ba sô' mới lập thành một cấp sô' cộng. Hãy tính tổng của năm sô' hạng đầu của cấp sô' nhân đã cho. tfiải Theo giả thiết, ta có: Kí hiệu các số hạng của cấp sô' nhân đã cho là Ui, U2, U3, ..., công bội là q. u3 - u2 = 12 (1) (ux+10) + u3 =2(u2+8) (2) Ta có (1) Uiq2 - Uiq = 12 Ui(q2 - q) = 12 Và (2) (ui + 10) + Uiq2 = 2(mq + 8) Uiq2 - 2uiq + Ui - 6 = 0 «• Ui(q - l)2 = 6. u^q-l)2 = 6 nên ta có hệ phương trình (q # 0, q * 1). u1(q2-q) = 12 Giải hệ trên, ta được q = 2, Ui = 6. 6Í25-l) Từ đó: s5 = - 2-1 10. Tính các giới hạn sau: (n + l)(3-2n)2 a) lim1 : n3 +1 = 186. 123 n-1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 ,:_v4n2+1+n. c) lim- 2n + 1 b) lim d) lim -Jn ựn-1 - i/n j Ốịiải a) =umkỉlĩlặzi=4 n +1 1 + Ị „3 n .. ( 1 2 n —l'i .. 1 + 2 +... + (n — 1) lim • 2 • + 2 . + - + 2 ' \ - lim Rr - vn2+l n2+l n2+ly n2 +1 b) 1-1 ,iim_^zAUiim. ;.n 2p+l) 2(1 + i ( Ĩ" A T- . ,1 , . 1 IinWgfclim I* ° J.J4 .■ R 2n+1 "R 2 I nJ n lim >Jn (y/n-1 - 7n j = lim 1 _ lim— ..,7° v 7 Vn-l+Vn Vn-l+Vn = lim^=4- = 4 jậ- ’ Cho hai dãy số (u„). (v„) với u„ = n và v„ = __ n ncos- n n2+1 Tính limu„. Chứng minh rằng limVn = 0. úịiải n2 +1 b) Ta có Vn = |vn| = n ncos — n n2 d-1 — = un vì limUn = 0 nên lim Vn = 0 n +1 a) Ta có limun = lim——— = lim—S— = 0 Chứng minh rằng hàm số y = cosx không có giới hạn khi X -> +00. 6jiai Đặt f(x) = cosx. 7Ĩ _ Chọn Un = 37 d- n2n; Vn = 71 + 2nn; neN 2 Ta có limun = limvn = +00 nhưng limflun) = 0 và limflVn) = -1 Do đó hàm sô' y = cosx không có giới hạn khi x->+00 .. .. X - V3x-2 b) lim *-»2 xz-4 _. .. X-3X + 1. c) lim - ; x-»z* X - 2 Tính các giới hạn sau: . ■ 6-3x a) lim ■ ---; x_>'2 V2X2 +1 d) lim I x + x2+... + X"-—2—]; x->r< 1~XJ f) Iim x+y^ 2-3x 2x-1 e) lim —V; X-++OC X + 3 g) lim (-2x3 + x2-3x+ 1). tfiai , .. 6-3x _ 12 _ . a) lim — ; = — = 4 ÌX2 +1 3 b) lim—fr ~2= lim X—>2 _ 4 x->2 = lim x->2 X2 -3x-2 (x - 2) (x + 2) (x + V3x-2 j x-1 1 (x + 2) (x + V3x-2 j 16 c) lim X2 - 3x +1 x->2+ X - 2 = -00 VÌ lim (x2 - 3x + li = -1 2+ ' ' và lim (x - 2) = 0; X - 2 > 0 V a. 11111 1 A. — Zj I - u, A - z u x->2+ , „n nV x(l + x + ... + x“-1)(l-x)-n d) lim X + X +... + X - - = lim —- X->1“ V 1 - X ; x-»r 1 - X x(l-x“)-n = lim v 7 = -00 x->r 1 - X .. 2x-l 2 e) lim = lim V = 2 x->+00 X + 3 x->+001 + 3 f) lim x+y?-* - Un, 2-3x 1- 2-3 xV = i 3 g) lim (-2x3 + X2 - 3x + 1) = +00 x->-00 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: sinx = X - 1. ổ^íải Xét hàm sô' f(x) = X - 1 - sinx và hai sô' 0; ft. Hàm sô' liên tục trên [0; ft] ố^iẳi RT Da/ crt R. f'Ziai tif'h 11 — 1 1 Ta có fi(O) = -1 0 => phương trình có ít nhất một nghiệm trong (0; 7i). Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm. Phương trình saụ có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3)? X4 - 3X3 + X - 1 = 0. úịiải Xét hàm sô' f(x) = X4 - 3x3 + X - 1 và hai sô' -1; 0. f(-l) = 2 > 0; f(0) = -1 < 0 và hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 0]. Vậy 3c e (-1; 0) : f(c) = 0 hay phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0). Vậy phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 3). Giải các phương trình: f' (x) = g(x) với f(x) = sin32x và g(x) = 4cos2x - 5sin4x; f' (x) = 0 với f(x) = 20cos3x + 12cos5x - 15cos4x. 6ịiài a) f(x) = sin32x => f' (x) = 3sin22x2cos2x = 6sin22xcos2x. Phương trình f' (x) = g(x) 6sin22xcos2x = 4cos2x - 5sin4x cos2x(6sin22x + 10sin2x - 4) = 0 COS 2x = 0 cos2x = 0 6 sin2 2x + 10sin2x-4 = 0 sin2x=- 2x = 77 + k7t 2 2x = arcsinẬ + k2n , k e z 3 2x = 71 - arcsin — + k27t 3 71 , TU X = . ±k_ 4 2 X = 77 arcsin— + k7t 2 3 71 1 1 X = 77 - 77 arcsin — + k7t 2 2 3 b) f(x) = 20cos3x + 12cos5x - 15cos4x ỉ' (x) = -60sin3x - 60sin5x + 60sin4x = -60(sin3x + sin5x - sin4x) = -60sin4x(2cosx - 1); f'(x) = 0 sin 4x = 0 1 cos X = — 2 x = k- 4 71 X = ±77 + k27t 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = —; b)y = COSVX2 + 1 c) y = (2 - x2)cosx + 2xsinx; d) y = sinx -xcosx cosx + xsinx tfiai 6 tan 3x y' = y' = - y' = x2sinx; cos2 3x X (7x2 + 1 sin Vx2 +1 + cos a/x2 +1 i/(x2+1)s d) y1 = (cosx + xsinx) 18. Tính đạo hàm cấp hais của các hàm số sau: a y = —4; x + 1 c) y = sinax (a là hằng số); Ốịiải b) y = x(1-x)' d) y = sin2x. a) y' = - 2 => y" = 3; (x + 1) (l + x)3 = ~+7~z -72 + \2 ^y =73 +7 ,3 x(l-x) X l-x X2 (l-x)2 X3 -'3 (l-*r y' = acosax => y" = -a2sinax; y' = sin2x => y" = 2cos2x. 19. Cho hàm số: f(x) = X3 + bx2 + cx + d. (C) Hãy xác dịnh các sô' b, c, d, biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đi qua các điểm (-1;-3);(1;-1)và f' W = 0. Ốịiảl Ta có f '(x) = 3x2 + 2bx + c Ta có hệ —3 — —1 + b — c + d -l=l+b+c+d o=ị+fb+c 3 3 Giải hệ trên ta được b = --T, c = 0, d = 2 20. Cho các hàm số: f(x) = X3 + bx2 + cx + d, g(x) = X2 - 3x + 1. Với các số b, c, d tìm dược ở bài 19, hãy: (C) Viết phương trinh tiếp tuyến cùa đồ thị (C) tại điểm có hoành độ X = -1. Giải phương trinh f' (sinx) = 0. f"(sin5x) + 1 Tìm lim . x->0g'(sin3x) + 3 &ịiải f(x) = X3 - 77 X2 - ậ; f ’(x) = 3x2 - X 2 2 Xo = -1, yo = -3; f’(-l) = 4 Phương trình tiếp tuyến: y + 3 = 4(x+l)«>y = 4x + l f' (sinx) = 0 3sin2x - sinx = 0 sin X = 0 1 sin X = — 3 X = kn X = arcsin—+ k2ft keZ 3 X = 71 - arcsin— + k2ĩt 3 c) f "(x) = 6x - 1; g'(x) = 2x - 3 f"(sin5x) + l 6sin5x = lim- sin5x lim „ . „ . „ =3 lim=3.^ = 5 x-»0 g (sin 3x) + 3 x->o2sin3x sin3x 3