Giải toán 11 Bài 1. Hàm số lượng giác

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
ĐỊNH NGHĨA
Hàm số sin và hàm số côsin
aj Hàm sô' sin: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực X với số thực sinx sin : R -> R
X i-> y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.
Tập xác định của hàm sô' sin là R.
Hàm số côsin: Quy tắc đặt tương ứng mỗi sô' thực X với sô' thực cosx cos : R -> R
X H y = cosx.
được gọi là hàm sô' cosin, kí hiệu là y = cosx.
Tập xác định của hàm sô' côsin là R.
Hàm sô' tang và hàm sô' côtang
Hàm số tang: Hàm sô' tang là hàm sô' được xác định bởi công thức
sinx	.	
y = - -	(cosx * 0)
cosx
Kí hiệu là y - tanx.
Tập xác định của hàm sô' y = tanx là D = R \	+ kn, k 6 zI.
Hàm số côtang: Hàm sô' côtang là hàm sô' được xác định bởi công thức
cosx , . y =	(sinx * 0)
sinx
Kí hiệu là y - cotx.
Tập xác định của hàm sô' y = cotx là D = R \ {kĩi, k e Z}.
TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC
Hàm sô' y = sinx và y = cosx là hàm sô' tuần hoàn với chu kì 2n.
Hàm sô' y = tanx và y = cotx là hàm sô' tuần hoàn với chu kì 7t.
sự BIẾN THIÊN VÀ Đổ THỊ CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC
Hàm số y = sinx
Xác định với mọi X e K và -1 < sinx < 1
Là hàm sô' lẻ.
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 271.
Bảng biến thiên của hàm số y = sìnx trên đoạn [-7t; 7ĩ] như sau:
X
-71
71
2
0
71
2
71
y = sinx
0	
	, 1 —
—"* 0
-1 —
—* 0
Xác định với mọi X e ỉ và -1 < cosx < 1.
Là hàm số chẵn.
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2tt.
Bảng biến thiên của hàm số y = cosx trên đoạn [-7i; 71]
X
-71
0
71
y = cosx
-1 —
Đồ thị hàm số y = cosx
Ta có: cosx = sin(x + với mọi X, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài
ta được đồ thị hàm sô'
Hàm số y = tanx
* Có tập xác định là D = R\ j I + kĩt, ke z
Là hàm số lẻ.
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 71.
4.
Đổ thị của hàm số y = tanx
Hàm số y = cotx
Có tập xác định là D = R\ {krc, ke z}
Là hàm số lẻ.
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 71.
Bảng biến thiên của hàm số y = cotx trên [0; 7i]
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cotx trên khoảng (0; 7t).
Đồ thị hàm số y = cotx
Bảng biến thiên của hàm số y - tanx trên
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Hãy xác định những giá trị của X trên đoạn
3)1
đê’ hàm số y = tanx:
Nhận giá trị bằng 0; c) Nhận giá trị dương;
Nhận giá trị bằng 1; d) Nhận giá trị âm.
tfiai
3ti
Dựa vào đồ thị của hàm số y = tanx trên -7t;-
tanx = 0 tại X e {-7t; 0; 7t}
tanx = 1 tại xe Ị- y
4	4	4 ]
tanx > 0 khi X e 7i; — j V [^’2) u (n’~2")
ta có:
2. Tìm tập xác định của các hàm số: 1 + cosx
a) y =
i»y.
c) y = tan X
V1-COSX
d)y = cot x +
ơ) I
y xác định khi và chỉ khi sinx * 0 X * kĩt, k e z Vậy tập xác định D = R \ {kĩt, k e Z}.
Vi 1 + cosx > 0 nên y xác định khi và chỉ khi:
- cosx > 0 o cosx < 1 0 cosx # 1 o X í 2k7t, k 6 z Vậy tập xác định D = R \ {k2tt, k e Z}.
y xác định khi và chỉ khi X -	+ b o X — + kít, k e
3	2	6
Vậy tập xác định D = R \ (+ kx, k e Z|.
6
71 -	7C	rn
y xác định khi và chỉ khi x + -7*k7Tx*--7 + kĩt, k e z 6 6
Vậy tập xác định D = R \ 1" + kx, k e Z|.
6
3. Dựa vào đồ thị của hàm sô' y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = I sinx I.
ỐỊiải
, .1 . I í sin X nếu sin X > 0	,	I . I
Ta co I sinxj = <	.	,	do đó đõ thị của hàm sô y = I sinx I
[-sinx nếu sinxcO
có được từ đồ thị CO của hàm sô' y = sinx bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thị của co nằm trong nửa mặt phẳng y > 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox).
Lấy hình đôi xứng qua trục hoành của phần đồ thị co nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox);
Xóa phần đồ thị của co nằm trong nửa mặt phẳng y < 0
Đồ thị y = I sinx I là đường liền nét trong hình dưới đây:
4. Chứng minh rằng sin2(x + kn) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x. Ốjiải
Ta có sin2(x + kn) = sin(2x + 2k7t) = sin2x, k e z.
Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kì 71 và y = sin2x là hàm
sô' lẻ nên ta vẽ đồ thị của y = sin2x trên đoạn
0, được đồ thị trên đoạn
’2
rồi lấy đô'i xứng qua
Cuối cùng tịnh tiến song song với trục
Ox các đoạn độ dài 7t ta được đồ thị hàm sô' y = sin2x trên K.
71 71 2’2
8.
5.
Dựa vào đổ thị hàm số y = cosx, tim các giá trị của X để cosx =
Ốịiải
Đường thẳng y = — cắt đồ thị hàm số y = cosx tại các giao điểm có hoành 2
độ tương ứng là + k27T và + k27i, k e z.
3	3
6.
Dựa vào đố thị cùa hàm số y = sinx, tim các khoảng giá trị của X đê’ hàm số đó nhận giá trị dương.
ố^lảl
Ta có sinx > 0 ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục Ox. Vậy đó là các khoảng (2k7i; 71 + 2kĩt), k Ẽ Zlà các khoảng giá trị của X để sinx > 0.
7.
Dựa vào đổ thị của hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của X để hàm số đó nhận giá trị âm.
ốỊiải
Ta có cosx < 0 ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox. Đó là các
khoảng
Tim giá trị lớn nhất của các hàm số:
y = 2 s/cosx + 1;
y = 3 - 2sinx.
Ốịiải
Ta có cosx y X = k2n, k e X
Vì sinx > -1 -sinx y < 5.
Vậy maxy - 5 o sinx = -1x = -^ + k27i, k 6 z.
2
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1-sinx
cosx
b) y
= cotx X + — - 1;
d) y
I 3J
a) X * — + kn;
b) X
2
c) X *	+ krc;
d) X
1 + sinx 1 -sinx
71
2
71
3
71
2
2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số: a) y - sin42x;
b) y =
cosxsinx
sinx -tanx c) y = —
tanx + cotx
d) y = sinx - cosx.
sinx + cotx
ĐS: a) Hàm số chẵn; c) Hàm số chẵn;
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
a) y = -5sin í X -+ 1;	b)y = 7l + 2cosx - 3 .
ĐS: a) -4; 6;	b) -3; 73-3.
Chứng minh rằng cos2(x + kĩi) = cos2x, k e z.
Từ đó vẽ đổ thị hàm số y - cos2x và y = |cos2x|.
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
b) Hàm số chẵn;
d) Hàm số không chẵn không lẻ.
a) y = 1 - sinx; c)y = tanj^x + ^;
b) y = COS ^x +
d) y - cot X -
a)y =