Giải toán 11 Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
§2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐẠO HÀM CỦA MỘT số HÀM số THƯỜNG GẶP Định lí 1: Hàm số y = Xn (n e N, n > 1) có đạo hàm với mọi X G K và (xn)' = nxn_1. Định lí2: Hàm sô' y = Vx có đạo hàm với mọi X dương và (Vx) = . ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯÚNG 1. Định lí 3 Giả sử u = u(x), V = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm X thuộc khoảng xác định. Ta có: (u + v)' = u' + v' (u-v)' = u'-v' (uv)' = u'v + uv' vvy \T Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = ku’. Hệ quả 2: (v = v(x)#o). 'uY u'v-uv'. ... .... ... 0 ; (V = v(x) * 0) III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP Dịnh lí 4: Nếu hàm sô' u = g(x) có đạo hàm tại X là uỊ, và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yý thì hàm hợp y = f[g(x)] có đạo hàm (theo x) là: y(, = yú-Ux. Bảng tóm tắt B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm cùa hàm số a) y = 7 + X - X2 tại Xo = 1; b) y = X3 - 2x + 1 tại Xo = 2. ốỳ.ài a) f'(l) - Um£. lim f*-1 + Ax) - f (1) = lim 7 + (1 + Ax) - (1 Ax )s - 7 Ax-*o Ax Ax-»o Ax Ax->0 Ax = lim (-1 - Ax) = -1 Ax-»o v b) f'(2) = lim Ax-»o Ax ; Iim f(2 + Ax)-f(2) = (2 + Ax)3 - 2(2 + Ax) + 1 - 5 = lim Ax-»o Ax lim Ax-»o Ax = 10. 2. Tim đạo hàm của các hàm số sau: a) y = X5 - 4x3 + 2x - 3; X4 2x3 4x2 c) y = + _ 1; 2 3 5 a) y' = 5x4 - 12x2 + 2; c) y' = 2x3 - 2x2 + — x; 5 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (X7 - 5x2)3; b) y=4-^x + xỉ- 0,5x4; 4 3 d) y = 3x5(8 - 3x2). ốịiàl b) y' = - ỉ + 2x - 2x3; 3 d) y = 24x5 - 9x7 => y' = 120x4 - 63x6. d) y = 3-5x X2 - X +1 b)y= (x2+ 1)(5-3x2); e) y = fm + -lb ì , (m, n là các hằng số). c) y = 2x X2-1: (-1) b) y' < 3. tfiai y' = 3(x7 - 5x2)2. (x7 - 5x2)' = 3(x7 - 5x2)2(7x6 - lOx) y' = (x2 + 1)'(5 - 3x2) + (x2 + 1).(5 - 3x2)' c) y' = = 2x(5 - 3x2) + (x2 + l)(-6x) = -12x3 + 4x 2(x2 -l)-2x2x _ -2x2 —2 -5(x2-x + l)-(3-5x).(2x-l) 5x2_6x_2 d) y - —i:—75 = ' .-9-; (x2-x + l) (x2-x + l) 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = X2 - X Vx + 1; c)y = Vã (a là hằng số); d) y = b) y = V2-5X-X2 ; 1 + x /1-X Ốịiải y' = 2x - Li -5-2x y = ^-5x77; c) y' = 3x2Va2 -X2 -X3 a -X 3x2Va2 - X2 + X3. C2 ~2 Va -yj 2 „2 a -X 2 __2 a - X x2(3a2-2x2) d) y'= = ^-(l + x).-^ 2(1 ) + (1 + x) = 3_x 1-x Vớ-*)3 2Vơ-x)3 5. Cho y = X3 - 3x2 + 2. Tìm X để: a) y' > 0; íịiải Ta có y' = 3x2 - 6x y' > 0 3x2 - 6x > 0 «■ 3x(x - 2) > 0 X 2 y' 3x2 - 6x X2 - 2x - 1 1 - V2 < X < 1 + V2 . c. BÀI TẬP LÀM THÊM Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. a) y = (x4 + 1)(Vx+1); c)y= (3x5- 1)3 ; 2. a) y = >/x3 -2x + 1; b) y = d) y = b) = X2 + X +1 2x + 1 ■ 1 a) y = a) y = X +X + 3 2x + 1 ax + b 7x2 +X + T b) y = (x + 1) Vx2 +X + 1 ax2 +bx + c cx + d Đáp số’: 1. a)y'= 4x3(Vx+l) + -Mx4+l); 2Vxv ' c) y' = 45x4(3x5 - 1} b) y = b) y'= d) y' = ex + f 2x + 2x -1 (2x + l)2 -4x 2. a) y' = 3. a) y'= 3x2-2 Vx3-2x + 1 ’ -11 2(2x + 1)2 Vx2 + x + 3 ’ b) y' = 2x + 1 2^(x2+x + i)3 b) y' = 4x2 +5X + 3 4. a) y' = ad-bc (cx + d)2 b) y'= 2a/x2 + X + 1 acx2 + 2afx + bf - ce (ex+f)2