Giải toán 11 Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẢN
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Phương trình sinx = a
I a I > 1: phương trình vô nghiệm.
I a I < 1: gọi a là cung thỏa since = a
Ta có sinx = sina 
X = a + k2ji, keZ X = 71-a + k2rc, keZ
Chú ý: Nếu a s
7t 71
thì ta viết a = arcsina.
2’2
2. Phương trình cosx = a
I a I > 1: phương trình vô nghiệm.
I a I < 1: gọi a là cung thỏa coxa = a
Ta có cosx = coxa o X = ±a + k 271, keZ
Chú ý: Nếu a e [0, 7t] thì ta viết a = arccosa.
Phương trình tanx = a
thỏa tana = a, ta viết a - arctana
Gọi a e
71 _7t'
22,
Ta có tanx = tana oa + kĩt.k eZ.
Phương trình cotx = a
Gọi a e (0; 7t) thỏa cota = a, ta viết a = arccota Ta có cotx = cota X = a + kn, k e z.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
b) sin3x = 1;
d) sin(2x + 20°) = -y-
1. Giải các phương trình: a) sin(x + 2) = L
sin|^-Ư=0;
Ốịlảl
X + 2 = arcsin 4 + k2n 3
X + 2 = 71 — arcsin Ậ + k27t 3
X = arcsin Ậ - 2 + k.271
3
X = 71 - arcsin — - 2 + k27i 3
b) sin3x = 1 o 3x = 4 + 2k7t X = 4 + k ^4 ; k e z 2	6	3
a) Ta có sin (x + 2) = 4	
3
(k e Z)
(k 6 Z)
c) sill
2x 71 y ~3
~ 2x 71	71	371
= 0	 -77-	— 77 =	k7t X = 7	+ k —; k e z
3	3	2	2
73
d) sin(2x + 20°) =	=> sin(2x + 20°) = sin(-60°)
2
2x + 20° = -60° + k360°
2x + 20° = 180° - (-60°) + k360°
X = -40° + kl80° x = 110° +kl80°
Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau? ốỹỊiải
Ta có sin3x = sinx 
3x = X + k27t 3x = 71 - X + k27t
X = kTt
71	J1 (k 6 Z).
X = — + k-77
4	2
Giải các phương trình: a) cos(x - 1) = I;
b) cos3x = cos12°;
c) COS
3x X ~2 ~4
d) cos22x = -ị .
{sỊiải.
2	2
cos(x - 1) = 4 X - 1 = ± arccos — + k2n X = 1 ± arccos^ + k27t, ke z
3	3
cos3x = cosl2° o 3x = ±12° + k360° X = ±4° + k!20°;
, _ . 3x 71	_	_
c) COS -77- - -7 =-— COS
3x 71
3x 71 2ti T 4 = T
= COS -
271
+ k27t
3x 71 2ti
+ k27t
1 l7t , 471 X = -	+ k-77-
18	3
Õ7t . 4ti X = -—7 + k—-
18	3
(k 6 Z)
2cos2x
1-sin2x
Giải phương trinh: -—7 4— = 0.
ốỹ.ải
Điều kiện: sin2x * 1 2x * 77 + k27t o X * -7 + k7t, k e z
, 2cos2x _ Ta có: ——	“ = 0 -í
1 - sin 2x
X * -7 + k7t
4	
COS 2x = 0
X * — + ktt
4
-71
 X = — + k7t, k e z. 7Ĩ	4
2x = ± 77 + k27t
2
5. Giải các phương trinh: a) tan(x - 15°):
75
Cơs2xtanx = 0;
cot(3x - 1) = - 75;
Sin3xcotx = 0.
73
a) tan(x - 15°) = —'	 tan(x - 15") = tan30°
3
 X - 15" = 30" + kl80" X = 45° + kl80°, k e z
b) cot (3x - 1) = - 73	 cot (3x - 1) = cot(- -Ẹ )
6
,	7t	1	71	, 71	,	_
o3x-l = --7+kĩtx = ^----t- + k-7-,keZ
3 18
c) Điều kiện: cosx *0 X * -- + k7t 2
X = k7t
tan X = 0
71	
cos2x = 0
2x = — + k7t
2	L
cos2x.tanx = 0 o
X = k7i
71	7t (k e Z)
X = — + k —
4	2
d) Điều kiện: sinx 0 X = k?t
r„•	_ n r3x = k7t	x = k^-
. „	,	„ sin3x = 0	Q
sin3x.cotx = 0 o	 JJ 	(k e Z)
cot x = 0	X = 7- + k7t	71,
u	l_2	X = — + k7t
2
6. Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số y = tan [4- và y = tan2x bằng nhau?
ốjiải
71 7t ,
X - — * -7 + k7I
4	2
371,
x * -- + kã
o X * 7+ I7, (1 e Z) 4	2
Điều kiện
Ta có tan 4 - X = tan2x 2x = - - X + kn X = 7r + k , k e z. <4	)	4	12	3
2x * — + Ỉ7t
2
71	,71
X * — + 1 —
7. Giải các phương trinh sau: a) Sin3x - Cơs5x = 0;
éjiải
a) sin3x - cos5x = 0 sin3x = cosõx cosõx = COS
b) tan3xtanx = 1.
(H
5x = — - 3x + k27i
8x = — + k27t
2
2
7Ĩ
5x = - — + 3x + k27t
2x = - — + k27t
L	2
2	L
71	, 71
X = -7 + k —
16	4
(k e Z)
Điều kiện: cos3x * 0; cosx * 0
tan3xtanx = 1 tan3x = —-— tan3x = cotx tan3x = tan( 77 - x) tanx	2
 3x = T7-x + k7ix =	+ k~, k e z
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Giải các phương trình
b) cos(x + 1) =
d) (1 + 2cosx)(3 - 2cosx) = 0
b) X = -1 ± arccos -ì + k2x 5
d) X = ±4“+ k2iĩ.
3
.	f 71A 72
COS 3x-^- =	;
cos(2x + 50°) =	;
TAO	lift 1 2n	7ĩĩ , 271
ĐS: a) X =	1 + k—-;x =	-+k —-:
36	3	36	3
2. Giải các phương trình:
. Sin3x „
a) -—0;
1-cos3x
ĐS: a) X = -7- + k—- ;
3	3
X = 5° + k!80°; X = -55° + k!80°;
cos2xcot ^x - ~ j = 0; c) (cotx + 1) sin3x = 0.
. X _ 371	,
b) X = — + kx;
4
X = — -7 + k-71, X = ■—■ + kn, X = ^77- + kĩr. 4	3	3
3. Giải các phương trình lượng giác:
'	ftV 72.
a) cos 3x -77 = —;
I 5j 2
a) cos 3X	;
I 5 J 2
c) 73tan^2x = -3;
b)
. 3x sin-3- 5
= 1;
d) tan24xtan23x = 1.
a)cos 3x
-3ft
= cos— 4
-Hưởng ĩ)ẫn
1971	. 2ti
X = —— + k—-
60	3
1171	2n
X =	+ k ——
60	3
b)
. 3x sin—1
5
„	3x n	5k , 5k
1 o cos —- = 0 0 X = —- + k —-
5	6	3
X = k^
2
tan24x = cot23x tan24x = tan2 - 3x X =	+ k Ị .