Giải toán 11 Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẢN A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Phương trình sinx = a I a I > 1: phương trình vô nghiệm. I a I < 1: gọi a là cung thỏa since = a Ta có sinx = sina X = a + k2ji, keZ X = 71-a + k2rc, keZ Chú ý: Nếu a s 7t 71 thì ta viết a = arcsina. 2’2 2. Phương trình cosx = a I a I > 1: phương trình vô nghiệm. I a I < 1: gọi a là cung thỏa coxa = a Ta có cosx = coxa o X = ±a + k 271, keZ Chú ý: Nếu a e [0, 7t] thì ta viết a = arccosa. Phương trình tanx = a thỏa tana = a, ta viết a - arctana Gọi a e 71 _7t' 22, Ta có tanx = tana oa + kĩt.k eZ. Phương trình cotx = a Gọi a e (0; 7t) thỏa cota = a, ta viết a = arccota Ta có cotx = cota X = a + kn, k e z. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP b) sin3x = 1; d) sin(2x + 20°) = -y- 1. Giải các phương trình: a) sin(x + 2) = L sin|^-Ư=0; Ốịlảl X + 2 = arcsin 4 + k2n 3 X + 2 = 71 — arcsin Ậ + k27t 3 X = arcsin Ậ - 2 + k.271 3 X = 71 - arcsin — - 2 + k27i 3 b) sin3x = 1 o 3x = 4 + 2k7t X = 4 + k ^4 ; k e z 2 6 3 a) Ta có sin (x + 2) = 4 3 (k e Z) (k 6 Z) c) sill 2x 71 y ~3 ~ 2x 71 71 371 = 0 -77- — 77 = k7t X = 7 + k —; k e z 3 3 2 2 73 d) sin(2x + 20°) = => sin(2x + 20°) = sin(-60°) 2 2x + 20° = -60° + k360° 2x + 20° = 180° - (-60°) + k360° X = -40° + kl80° x = 110° +kl80° Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau? ốỹỊiải Ta có sin3x = sinx 3x = X + k27t 3x = 71 - X + k27t X = kTt 71 J1 (k 6 Z). X = — + k-77 4 2 Giải các phương trình: a) cos(x - 1) = I; b) cos3x = cos12°; c) COS 3x X ~2 ~4 d) cos22x = -ị . {sỊiải. 2 2 cos(x - 1) = 4 X - 1 = ± arccos — + k2n X = 1 ± arccos^ + k27t, ke z 3 3 cos3x = cosl2° o 3x = ±12° + k360° X = ±4° + k!20°; , _ . 3x 71 _ _ c) COS -77- - -7 =-— COS 3x 71 3x 71 2ti T 4 = T = COS - 271 + k27t 3x 71 2ti + k27t 1 l7t , 471 X = - + k-77- 18 3 Õ7t . 4ti X = -—7 + k—- 18 3 (k 6 Z) 2cos2x 1-sin2x Giải phương trinh: -—7 4— = 0. ốỹ.ải Điều kiện: sin2x * 1 2x * 77 + k27t o X * -7 + k7t, k e z , 2cos2x _ Ta có: —— “ = 0 -í 1 - sin 2x X * -7 + k7t 4 COS 2x = 0 X * — + ktt 4 -71 X = — + k7t, k e z. 7Ĩ 4 2x = ± 77 + k27t 2 5. Giải các phương trinh: a) tan(x - 15°): 75 Cơs2xtanx = 0; cot(3x - 1) = - 75; Sin3xcotx = 0. 73 a) tan(x - 15°) = —' tan(x - 15") = tan30° 3 X - 15" = 30" + kl80" X = 45° + kl80°, k e z b) cot (3x - 1) = - 73 cot (3x - 1) = cot(- -Ẹ ) 6 , 7t 1 71 , 71 , _ o3x-l = --7+kĩtx = ^----t- + k-7-,keZ 3 18 c) Điều kiện: cosx *0 X * -- + k7t 2 X = k7t tan X = 0 71 cos2x = 0 2x = — + k7t 2 L cos2x.tanx = 0 o X = k7i 71 7t (k e Z) X = — + k — 4 2 d) Điều kiện: sinx 0 X = k?t r„• _ n r3x = k7t x = k^- . „ , „ sin3x = 0 Q sin3x.cotx = 0 o JJ (k e Z) cot x = 0 X = 7- + k7t 71, u l_2 X = — + k7t 2 6. Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số y = tan [4- và y = tan2x bằng nhau? ốjiải 71 7t , X - — * -7 + k7I 4 2 371, x * -- + kã o X * 7+ I7, (1 e Z) 4 2 Điều kiện Ta có tan 4 - X = tan2x 2x = - - X + kn X = 7r + k , k e z. <4 ) 4 12 3 2x * — + Ỉ7t 2 71 ,71 X * — + 1 — 7. Giải các phương trinh sau: a) Sin3x - Cơs5x = 0; éjiải a) sin3x - cos5x = 0 sin3x = cosõx cosõx = COS b) tan3xtanx = 1. (H 5x = — - 3x + k27i 8x = — + k27t 2 2 7Ĩ 5x = - — + 3x + k27t 2x = - — + k27t L 2 2 L 71 , 71 X = -7 + k — 16 4 (k e Z) Điều kiện: cos3x * 0; cosx * 0 tan3xtanx = 1 tan3x = —-— tan3x = cotx tan3x = tan( 77 - x) tanx 2 3x = T7-x + k7ix = + k~, k e z c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải các phương trình b) cos(x + 1) = d) (1 + 2cosx)(3 - 2cosx) = 0 b) X = -1 ± arccos -ì + k2x 5 d) X = ±4“+ k2iĩ. 3 . f 71A 72 COS 3x-^- = ; cos(2x + 50°) = ; TAO lift 1 2n 7ĩĩ , 271 ĐS: a) X = 1 + k—-;x = -+k —-: 36 3 36 3 2. Giải các phương trình: . Sin3x „ a) -—0; 1-cos3x ĐS: a) X = -7- + k—- ; 3 3 X = 5° + k!80°; X = -55° + k!80°; cos2xcot ^x - ~ j = 0; c) (cotx + 1) sin3x = 0. . X _ 371 , b) X = — + kx; 4 X = — -7 + k-71, X = ■—■ + kn, X = ^77- + kĩr. 4 3 3 3. Giải các phương trình lượng giác: ' ftV 72. a) cos 3x -77 = —; I 5j 2 a) cos 3X ; I 5 J 2 c) 73tan^2x = -3; b) . 3x sin-3- 5 = 1; d) tan24xtan23x = 1. a)cos 3x -3ft = cos— 4 -Hưởng ĩ)ẫn 1971 . 2ti X = —— + k—- 60 3 1171 2n X = + k —— 60 3 b) . 3x sin—1 5 „ 3x n 5k , 5k 1 o cos —- = 0 0 X = —- + k —- 5 6 3 X = k^ 2 tan24x = cot23x tan24x = tan2 - 3x X = + k Ị .