Giải toán 11 Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
Khi nào thi cấp số cộng là dãy số táng, dãy số giảm?
cZ-tà Lèn
(un) là cấp số cộng thì un+1 - un = d.
Nếu d > 0 thì un+1 > u,„ Vne N*, khi đó (un) là dãy số tăng.
Nếu d < 0 thì Un+1 < un, Vne N*, khi đó (un) là dãy số giảm.
Cho cấp số nhân có u, < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
q > 0?
q < 0?
Lin
Ta có un = Uiq"-1.
Vì Uj 0 thì un < 0, Vne N*.
Với q 0 nếu ii chẵn.
Cho hai cấp sô' cộng có cùng số các sô' hạng. Tổng các sô' hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp sô' cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Lèn
Giả sử hai cáp số cộng (un) và (vn) gồm cùng n số hạng và lần lượt có công sai là di và d2.
Khi đó ta có:
(uk + vk) - (uk_! + vk_i) = (uk - uk-i) + (vk - vk.,) = di + d2 với 1 < k < n.
=> dãy sô' (un + vn) là cấp sô' cộng có công sai (dj + d2).
Chẳng hạn, từ hai cấp sô' cộng có cùng 4 sô' hạng:
5, 7, 9 công sai di = 2,
-2, 1, 4, 7 công sai d2 = 3,
Khi đó cấp sô' cộng 1, 6, 11, 16 công sai d = 5.
Cho hai cấp số nhân có cùng số các sõ' hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp sô' nhân không? Vì sao? Cho một vi dụ minh họa.
(ĩ.fả Lèn
Giả sử hai cấp sô' nhân (un) và (vn) gồm n sô' hạng và lần lượt có công bội là q, và q2.
Khi đó ta có uk.vk = (uk-i.qi)(vk_i.q2) = (uk_i.vk_1).(q1.q2) với 1 < k < n.
Suy ra dãy (unvn) là cấp sô' nhân công bội qiq2.
Chứng minh rằng với mọi n e N*, ta có:
13" - 1 chia hết cho 6;
3n3 + 15n chia hết cho 9.
ỐỊiải
Đặt An = 13" - 1, ta chứng minh An : 6 (1) n e N* bằng phương pháp quy nạp toán học. Với n = 1 ta có Aj = 12 : 6. Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng với n = k, tức là Ak = 13k - 1 : 6. Ta chứng minh Ak+1 : 6. Thật vậy: Ak+1 = 13k+1 - 1 = 13(13k - 1) + 12 = 13.Ak + 12 ỉ 6 (vì Ak ỉ 6) Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi n e N*.
Đặt Bn = 3n3 + 15n, ta chứng minh Bn: 9, n e N*.
Với n = 1, ta có B] - 18 : 9. Giả sử Bk = 3k3 + 15k : 9
Khi đó Bk+1 = 3(k + l)3 + 15(k + 1) = (3k3 + 15k) + 9(k2 + k + 2) : 9.
(vì Bk = 3k3 + 15k : 9). Vậy Bn: 9, n e N*.
Cho dãy số (Un), biết u, = 2, u„4) = 2un - 1 (với n > 1).
Viết nãm số hạng đầu của dãy;
Chứng minh Un = 2" 1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
U] = 2, u2 = 2uị - 1 = 3, u3 = 2u2 -1 = 5 u4 = 2ựj -1 = 9, u5 = 2u4 - 1 = 17
Với n = 1 ta có U) = 2° + 1 = 2; đẳng thức đúng với n = 1
Giả sử uk = 2k_1 + 1; khi đó uk+1 = 2uk - 1 = 2(2k"‘ + 1) - 1 = 2k + 1 Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1 nên đẳng thức đúng với mọi n > 1.
Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy sô' (Un), biết:
a) Un = n +
b) Un = (-1)" ’sin
c) u„ = Vn + 1 - Vn .
a) Xét hiệu un
un = n + 1 +
Ố^Ịiẩi
1 1 . , , 1 n +1 n	n +1
> 0 vì
n(n + l)	n(n + l)
=> dãy (un) là dãy sô' tăng.
Vì un > 0 Vne nên (un) là dãy bị chặn dưới. (un) không bị chặn trên vì với n lớn vô cùng thì un cũng lớn vô cùng.
b) Ta có: U] = sinl > 0; u2 = -sin— 0 2	3
=> U] > u2; u2 (un) là dãy không tăng không giảm.
Ta có: I un I =
_2_ 1
sin — n
 -1 < un < 1, với Vne N*.
Vậy (un) là dãy bị chặn.
Ta có un =	....	1	f=. Với n > 1 thì 7n +1 + 7ĨĨ > 72 +1,
7n + 1 + 7n
do đó 0 1 => (un) là dãy bi chặn.
■v2 4-1
Ta có: Un+1 - un =	 1	- —^1	= < 0
Vn + 2 + Vn + l Vn + l + Vn
=> un+1 (un) là dãy sô' giảm.
Tìm số hạng đầu Ui và công sai d của các cấp số cộng (Un), biết:
a)
5u, +10u5 =0 S4=14
b)
u7+u15=60 u4+u*2 = 1170
Ốịlảl
Áp dụng un = Ui + (n - 1) d và Sn =
n[2ux +(n - l)d]
,	. (5ui + 10u5 = 0
a) Ta có ị
ls4=14
5u1+10(u1 + 4d) = 0 f3Ui+8d = 0
4(2u1 + 3d) = ii °{2u1+3d = 7~ 2
Ui = 8
d =-3
b)
u7 + u15 = 60 u2 +u22 = 1170
U| + 6d + Uj + 14d = 60
(Ul +3d)2 + (ill + lld)2 =1170
Uj + lOd = 30	Jiij = 0
uỉ + 14ujd + 65d2 = 585 |d = 3 ~
9. Tìm số hạng đầu u, và công bôi q của cấc cấp sô' nhân (Un), biết: ill. =192
a)
u6 - .
U7 =384'
b)
u4 -u2 = 72 u5-u3 = 144'
c)
= -12
21
5
d = ±±
u2+u5-u4
u3+u6-u5
= 10 = 20'
ÚỊLẰl
Áp dụng un = Uiq'
fufi=192 a) 6	o ị
u7 = 384
n-1
upq5 =192
b) U4'“2=’7«
|u5 -u3 = 144
Upq6 = 384
ur.q3 - uxq = 72
Uj.q4 - UịỢ2 = 144
ux.q(q2-l) = 72	(1)
Ul.q2(q2-l) = 144 (2)
Chia (2) cho (1), ta có q = 2, thay q = 2 vào (1) ta được U! = 12.
Giải BT Đại số & Giải tích 11-65
c) Ta có:
u2 + u5 - u4 = 10
u3 + u6 - u5 = 20
utq + I^q4 - Ujq3 = 10 u^2 + iqq5 - Ujq4 = 20
(1)
(2)
u^l + q3 -q2) = 10 ư1q2(l + q3-q2) = 20
Chia (2) cho (1), ta được q = 2, thay q = 2 vào (1) ta được Uj = 1.
Tứ giác ABCD có các sô’ đo góc lập thành một cấp sô’ nhân theo thứ tự A, B, c, D. Biết rằng góc c gấp bốn lẩn góc A. Tính các góc của tứ giác.
ỐỊiải
Giả sử cấp sô' nhân A, B, c, D có công bội q (q > 0).
Ta có B = Aq, c = Aq2, D = Aq3.
Vì c = 4A nên Aq2 = 4A=>q2 = 4=>q = 2
A(l-q4)
Ta có 360° = A + B + C + D = S4=	\	’ = 15A
1-q
=> A = 24°, B = 48°, c = 96°, D = 192°.
Biết rằng ba sô’ X, y, 2 lập thành một cấp sô' nhân (x # 0) và ba sô’ X, 2y, 32 lập thành một cấp sô’ cộng. Tim công bội của cấp sô' nhân.
Ốịiải
q = l
Giả sử cấp sô' nhân sô' X, y, z có công bội q, ta có y = qx, z = q2x. X, 2y, 3z là cấp sô' cộng nên X + 3z = 4y
 X + 3q2x = 4qx 3q2 - 4q + 1 = 0 (vì X * 0) 
Người ta thiết kẽ’ một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trẽn của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nửa diện tích đê' tháp. Biết diện tích mặt đê' tháp là 12288m2. Tính diện tích mặt trẽn cùng.
ốịiẦi
Gọi diện tích mặt trên của tầng thứ i là Ui (i = 1, 2,	11).
Ta có (Uj) là câ'p sô' nhân với U! = 6144 và công bội q =
Ta có Un = Ui.q10 = 6144	= 6
Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số
cộng thì các số 7--^—,—^—,—ụ cũng lặp thành một cấp số cộng, b + cc + aa + b
Ta có
(sjiai
là cấp số cộng
co
co
b + c’ c + a’ a + b
_Ị	Ị_ _ _1	
c + a b + c“a + b c + a (c + a)(b + c) - (a + b)(c + a) b - a c - b
1	b - a	c - b
co
co b2 - a2 = c2 - b2 co a2, b2, c2 lập thành cấp sô' cộng.
Vậy nếu a2, b2, c2lập thành cấp sô' cộng thì các sô' ——, 1 , —í— cũng b+c c+a a+b
lập thành cấp sô' cộng.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho dãy số (Un), biết Un = 3". Hãy chọn phương án dúng:
a)
Số hạng Un.1 bằng:
(A) 3n+ 1;
(B) 3" + 3;
(C) 3".3
(D)3(n+ 1)
b)
Số hạng u2n bằng:
(A) 2.3";
(B) 9";
(C) 3" + 3
(D) 6n.
c)
Số hạng Un-1 bằng:
(A)3n-1;
(B) - .3";
3
(C) 3" - 3
(D) 3n - 1.
d)
Số hạng U2n-1 bằng:
(A) 32.3" - 1;
(B) 3n.3"-’;
(C) 32n-1
(D) 321"’”.
Lởi
Un+1 = 3n+1 = 3.3". Chọn (C)	b) u2n = 32n = 9". Chọn (B)
un_i = 3n_1 = j .3". Chọn (B)	d) U2n-1 = 32"-1 = 3"3"-1. Chọn (B)
3
Hãy cho biết dãy số (Un) nào dưới đây là dãy sô’ tăng, nếu biết công thức sô' hạng tổng quát Un của nó là:
(A)(-ir’.siní;	(B)(-1)2"(5"+1);	(C)	1-~;	(D) -5-.
n	Vn +1 + n	m +1
Lời
Dãy sô' (A) không tàng không giảm.
Dãy sô' (C), (D) giảm.
un = (-1)2" (5n + 1) = 5" +1 < 5n+1 + 1 = un+1 Dãy sô' (B) tăng. Chọn (B).
Cho cấp số cộng: -2, X, 6, y.
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:
(D)x = 2, y= 10.
(A) X =-6, y =-2;	(B)x=1,y = 7;	(C) X = 2, y = 8;
‘Tm’ lời
	2 -J- 0 — 2x f X — 2
~	• Chọn (D)
x + y = 12 [y = 10
17. Cho cấp số nhân: -4, X, -9.
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
(A) X = 36;	(B) X = -6,5;	(C) X = ±6;	(D) X = -36.
lời
-4, X, -9 là cấp sô' nhân thì X2 = 36 => X = ±6. Chọn (C).
18. Cho cấp số cộng (Un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau đây: (A)	10 2 20 - Us + Uio;	(B) U90 + U210 = 2ui5o;
(C) U,0.U30 = U20	(D) Hl0±30 = Uí0
lèn
Ta có: U90 + U210 = Ui + 89d + Ui + 209d = 2ư! + 298d = 2 (Ui + 149d) = 2ui50 Chọn (B)
u,=2 (A) 1
19. Trong các dãy sô' cho bởi các công thức truy hổi sau, hãy chọn dãy sô' là cấp sô' nhân
(B)
Un+1=3un
(C)
u, = -3 Un.1=un+1:
ÍU1 = -1 .
(D) 7, 77, 777	 777...7 .
n chữ sô' 7
= 3, Vn e N*. Chọn (B). Un