Giải toán 11 Bài 3. Hàm số liên tục

§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT DIEM
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 e K.
Hàm số f(x) được gọi là liên tụcỉại Xo nếu lim f(x) = f(x0).
x-»x0
HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Định nghĩa
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b).
MỘT só ĐỊNH LÍ cơ BẢN
Định lí 1
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lí2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm sô' liên tục tại điểm x0. Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x) cũng liên tục tại x0,
f(x)	„
Hàm so y - liên tục tại Xo nễu g(x0) * 0.
Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c £ (a; b) sao cho f(c) = 0.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dùng định nghĩa xét tinh liên tục của hàm số f(x) = X3 + 2x - 1 tại Xo = 3.
Ốịiải
Tập xác định: D = R
f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32
liinf(x) = 32 = f(3)
X—>3
Vậy hàm sô' y = f(x) liên tục tại Xo = 3.
nếu
nếu
a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại Xo = 2 X3 -8
x-2
g(x) = •
b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại Xo = 2? ốjiải
X	Cho hàm số f(x) =
[x -1 nếu x>-1
Vẽ đồ thị của hàm sô' y = f(x). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của
hàm số trên tập xác định, của nó.
Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
 -8
lim(x2 + 2x + 4) =12
X—»2
a) Tập xác định D = R g(2) = 5
limg(x) = lim x->2	x->2 X - 2
Ta có limg(x) * g(2) nên g(x) không liên tục tại Xo = 2.
b) Thay 5 bởi 12 thì limg(x) = g(2).
X—>2
Khi đó g(x) liên tục tại Xo = 2.
Í3x + 2 nếu X < -1
x-»2
Ốịlảí
Tập xác định D = K
Hàm sô' liên tục tại mọi X * -1 => f(x) liên tục trên các khoảng (-00; -1) và (-1; +00).
Hàm sô' gián đoạn tại X = -1.
Ta có: f(-l) = 0
X "h 1
Cho các hàm số f(x) =	—- và g(x) = tanx + sinx.
X2 + X - 6
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm sô’ liên tục.
f(x) =
có tập xác định D = \{—3; 21.
tfiai
xz + X-6
Hàm sô' y = fix) liên tục trên các khoảng (-00; -3); (-3; 2) và (2; +00).
* g(x) = tanx + sinx có tập xác định D = K \1	+ ktt, k e Z}.
2
Hàm sô' y = g(x) liên tục trên các khoảng 2 + k71’ 2 + với k e z.
Ý kiến sau đúng hay sai?
‘‘Nếu hàm sô' y = f(x) liên tục trên tại điềm Xo còn hàm số y = g(x) không liên tục tại Xo, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0."
ố^lắl
Ý kiến đúng.
Giả sử ngược lại y = fix) + g(x) liên tục tại x0.
Vì y = f(x) là hàm sô' liên tục tại Xo nên hiệu [fix) + g(x)] - f(x) = g(x) là hàm sô' liên tục tại Xo, điều này trái với giả thiết. Vậy y = f(x) + g(x) là hàm sô' không liên tục tại x0.
Ốjiải
Xét hàm số f(x) = 2x3 - 6x + 1 liên tục trên R.
Ta có f(-2) = -3; f(0) = 1; f(l) = -3
fl-2).f!0) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; 0). f(O).f( 1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).
Vậy phương trình 2x3 - 6x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
Xét hàm sô' f(x) = cosx - X liên tục trên R.
Ta có f(O).f( 77) = 4 - 77 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
3	2	3
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. a) Vẽ đồ thị hàm số y =
2. Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) =
b) f liên tục tại X = 0 không?
2x nếu 0 < X < 1
2-x nếu 1 < X < 2
•Hưởng 2ẫn: lim f(x) = 2; lim fix) = 1 => f gián đoạn tại X = 1. X->1+
x->r
Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
íx2 -1 nếu X* 0 a) f(x) =	_ z \
-2 nêu X = 0
Định a, b để hàm số sau liên tục trên R.
b) f(x) =
cosx
f(x) =
1	nếu X < 3
ax + b nếu 3 5
•Hướng dẫn: Tại x0 = 3: lim fix) = lim f(x) = f(3) 3a + b = 1 (1)
X—>3	X—>3
Tại Xo = 5: lim f(x) = lirii fix) = f(5) 5a + b = 3 (2) x*>5"	x->5+
Từ (1) và (2) suy ra: a = 1; b = -2.
5. Chứng minh rằng phương trinh 2x3 - 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (-2; 2). •Hưởng dẫn: f(-2), fl-l) < 0;	f(-l).f(l) < 0; fll).f(2) < 0.
Chứng minh rằng phương trình:
b) cosx = X có nghiệm.
a) 2x3 - 6x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiêm;