Giải toán 11 Ôn tập chương IV

ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Cho hai dãy số (u„) và (v„). Biết I u„ - 2 I < Vn với mọi n và limVn = 0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u„)?
Ốịiảl'
limvn = 0 và I un — 21 limun = 2.
Tên của một bạn học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ sô' trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, o với:
A = |im|^:	H = lim f Vn2 + 2n-nì;	N = lim	;	o = lim ?n - y_— .
'	'	Vn2 + 2n + n
N = iim^z2 =limv£^=o
3n + 7
o = lim
3" - 5.4"
1-4"
= lim
-1
Vậy tên của học sinh đó là: HOAN.
a) Có nhặn xét gì vé công bội của các cấp sô'nhân lùi vô hạn?
b) Cho ví dụ vể một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là sô’ âm và một cấp sô' nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp sô' nhân đó.
Ốịlẳl
a) q là công bội của cap sô nhân lùi vô hạn thì |q| < 1.
b)
(n > 1) là cấp số nhân lùi vô hạn có U) = - Ư công bội q = - Ư 2 2
TáneS^.-ịL-ỉ 1-q 1 + 1	3
2
/ lỴ + 3
	,	1	1
* un = -Ệ- (n > 1) là cấp số nhân lùi vô hạn có Ui = -T , công bội q = 7 .
\3y	3	3
1
Tổng s = Ul- =
U1 _	3	_ 1
1 - q ! _ Ị 2 3
X-»lim X-+ 3 = lim	y- = i
XZ + x + 4
d) lim (-Xx-»-« 3x — 1	x-»-« 2 _ 1	3
 + X - 2x + 1);
X—
. 2x - 5 . c) lim ~;
jc-,4 X - 4
.. Vx2 -2X + 4 -X f) lim 	■	
X-1-X 3x -1
5. Tim các giới hạn sau:
x + 3
a) lim
b) lim
»-»-3 X +3x
, .. x + 3 e) lim " ■	;
x-»-x 3x -1
Ốịiảl
lim—	 = -—-—- = —■ = —
x-»2 X2 + X + 4	4 + 2 + 4	10	2
, i1.	x2+5x + 6 (x + 2)(x + 3)	X + 2	1
lim —-—-3	= lim 	,	- lim —— = -
X-+-3 X2 + 3x x-»-3 x(x + 3)	x->-3 X 3
V tỉm 2x~5
lim ——— = -00 x-»4 x-4
lim (—X3 + X2 - 2x + 1) = lim X3 (-1 + ỉ - -ị + Ậ) = -00
»->+»	x-»+»	X X2 X
12 1
vì lim X3 = +00 và lim (-1 + — - —X + —0) = -1 < 0
r. i:_ Vx2 - 2x + 4 - X f) lim	
x-»-« 3x -1
2 t 4
1 -	+ -9 - x
X X2
. _2_ 4
1“ „ + 72	1	0
XX2	2
-X,
lim -
x-»-»
3x-l
= lim -
X->-cO
3-1
X
X—>+cc	X—>+50	X X*
6. Cho hai hàm số f(x) =
Tính lim f(x); lim g(x); lim f(x) và lim g(x).
X->0	X-+0	X-++X	X-++X
Hai đường cong trên đây là đồ thị của hai hàm sô' đã cho. Từ kết quả câu a) hãy xác định đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đã cho.
1 - Xs
a) limf(x)=lim x->0	x_>0 X
limg(x) = lim
X3 + X2 + 1
x-»0
x->0
- = +00
lim f(x) = lim
1 — X2
= lim
X-++CO
--1
X—>+00 X
lim g(x) = lim
X3 + X2 + 1
= lim (x + 1 + ——) = +00
X—>+00
b) Đường cong thứ nhất là đồ thị của hàm sô' y = g(x), đường cong thứ hai là đồ thị của hàm số y = f(x).
7. Xét tính liên tục trên R của hàm số: g(x) =
X2 - X - 2
x-2
5-X
nếu x>2 nếu x<2.
= +00, (vì lim(l - X2) = 1 và limx2 = 0; X2 > 0, Vx + 0) x->0	x->0
Tập xác định D = K.
Hàm số y = g(x) liên tục trên các khoảng (-oo; 2) và (2; +oo).
Tại Xo = 2. Ta có: g(2) = 3
lim g(x) = lim (5 - x) = 3 X—>2”	X—>2“
lim g(x) . lim	. lim	. lim (X ♦ 1) . 3
x->2+	x->2+ X — 2	x->2+ X — 2	x-»2+
Vậy lim g(x) = lim g(x) = g(2) nên g(x) liên tục tại X = 2. x-»2~	x->2+
Vậy y = g(x) liên tục trên K.
Chứng minh rằng phương trình X5 - 3x4 + 5x - 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5). Ốịlải
Hàm sô' f(x) = X5 - 3x4 + 5x -	2 liên tục trên	R.
Ta có fW).fĩl) = (—2). 1 = -2 fix) = 0 có ít	nhất	một nghiệm	thuộc (0;	1).
Ta có f(l).f!2) = l.(—8) = -8 fix) = 0 có ít	nhất	một nghiệm	thuộc (1;	2).
Ta có f(2).f(3) = (-8). 13 	f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (2;	3).
Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Một dãy sô' có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm.
Nếu (Un) là dãy số tăng thì limUn = +00.
Nếu limUn = +00 và limVn = +00, thì lim(Un - Vn) = 0.
Nếu Un = a" và -1 < a < 0 thì limUn = 0.
lèn: Nếu un = an và -1 < a < 0 thì limun = 0. Chọn (D).
10. Cho dãy số (Un) với Un =
1 + 2 + 3 + .., + n
n2 +1
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? (A) limUn = 0;
(C) limUn = 1;
(B) limUn =
(D) Dãy (Un) không có giới hạn khi n -> +CC.
lèn: Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 2
f = 2’Chọn (B).
limUn = lim n(n—^-= lim 2(n2+l)
11. Cho dãy số (Un) với Un = 72 + ^72) + ... + /72) . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
limu„= 7ẽ + (^) + ... + (72) +... = —;
limUn = -oo;
limun = +°o;
lèn: Ta có un = 72.
limun = +GO. Chọn (C).
Dãy số (Un) không có giới hạn khi n -> +00.
72-1
Chọn phương án đúng lần lượt cho các câu 12, 13, 14.
Giải BT Dại sô' & Giải tích 11-89
(C) -3
(D) +00.
(C) -oo;
(D) -1.
12. lim 3* 1 bằng x""	X-1
-1;
,đ lài: lim 3*	1 - +00. Chọn (D).
X->1~ X -1
1 - X2
Cho hàm	sô' f(x) =	—— .	lim f(x)	bằng:
X	x-»-x
(A)+oo;	(B) 1:
‘“Lrả lời: lim -—— = lim f—- x^ =+00. Chọn (A). x-*-» X	x-»-w X )
Cho hàm sô'f(x) = •ịựx-t-1-2
(m	nếu x = 3
Hàm số đã cho liên tục tại X = 3 khi m bằng:
(D) -4.
(A)4;	(B)-1;	(C) 1;
lởi: Ta có f(3) = m
(3-x)(ựx + l +2)	. ,	 ,
limf(x) = lim —	——	= lim -(vx + l + 2) = -4. Chọn (D).
x->3	x->3	X - 3	x-»3	'	'
Cho phương trình -4x3 + 4x - 1 = 0 (1). Mệnh dé nào sau đày là mệnh đề sai?
Hàm sô' f(x) = -4x3 + 4x - 1 liên tục trên R;
Phương trinh không có nghiệm trên khoảng (-co; 1);
Phương trình (1) có nghiêm trên khoảng (-2; 0);
Phương trình (1) cố ít nhất hai nghiệm trên khoảng Ị -3;^ I.
Lời: f(x) = -4x3 + 4x - 1 liên tục trên [-2; 1| và f(-2).f(l) = 23.(-l) = -23 < 0
=> Phương pháp f(x) = 0 có ít nhát một nghiệm thuộc (-2; 1). Chọn (B).