Giải toán 11 Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
§3. NHỊ THỨC NIU-TƠN (NEWTON) A. KIẾN THỨC CĂN BẢN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN (a + b)" = c°an + C^an-1b +... + cka"-kbk +... + c"bn = X cka"-kbk TAM GIÁC PA-XCAN (PASCAL) Muốn khai triển (a + b)n thành đa thức, ta cần biết n + 1 số c°, cj|,c2,...,c" có mặt trong công thức nhi thức Niu-tơn. Ta có thể tìm được chúng bằng cách sử dụng bằng số sau đây: 1 1 1 1 5 10 X A > 15 20 15 6 Tam giác Pa-xcan được lập theo quy luật sau: Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. Nếu biết hàng thứ n (n > 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: 5 / Ỹ3 (a + 2b)5; b) (a - \Í2 ) ; c) X-- . ố^lắi (a + 2b)5 = ị ck.a5_k.(2b)k = a5 + cỉ.a4.(2b/ + ợ?.a3.(2b)2 + k=0 + Cg.a2.(2b)3 + Cg.a.(2b)4 + c| (2b)5 = a5 + 10a4b + 40a3b + SOaV + 80ab4 + 32b5 (a - M = X c6ka6-k (-72)k k=0 = a6 - 6a5 72 + 15a4 (72)2 - 20a3 (72)3 + 15a2 (Tã)4 - 6a (Tã)5 + (Vã)6 Ta Có (x + |} = ẳ0C-x6-kB) =kỆ0C-2k-Ặ Hệ số của X3 ứng với k sao cho 6-k = 2k + 3k = l Vậy hệ số của X3 trong khai triển là 2. Cg = 12. Biết hệ số của X2 trong khai triển của (1 - 3x)" là 90, tìm n. Ốịiài Ta CÓ: (1 - 3x)" = £ ck.(-3x)k = J ck.(-3)k .xk k=0 k=0 n! C2 (~3)2 = 90 « = 10 n(n -1) = 20 n = 5. Hệ số của X2 trong khai triển là: 2!(n-2)! Tìm số hạng không chứa X trong khai triển của: ^x3 + . úịiẦl / 1 A8 8 , , „s8-k /k-|Ak 8 , v24~3k Tací: *’4 = Z cị X3 .1 =ẳcỉ.ĩ2_ĩ. V x/ k=0 vx/ k=0 x Sô' hạng không chứa X ứng với k thỏa: 24-3k = kok = 6 Vậy sô' hạng không chứa X trong triển khai là Cg = 3360. Tử khai then nhị thức (3x - 4)'7 thành đa thức, hây tinh tổng các hệ sô' của đa thức nhận được. tfiai Tổng các hệ sô’ của đa thức f(x) = (3x - 4)17 là f( 1) = (-1)17 = -1. Chứng minh rằng: 11'° - 1 chia hết cho 100; 101100 - 1 chia hết cho 10 000; c) ựio /—\'00 r— (1 + V10) -(1-V10) là một số nguyên. ZyZdZ 10 Ta có: ll10 - 1 = (10 + l)10 - 1 = X cw 10k - 1. k=0 10 = 10. cjo - X cío 10k chia hết cho 100 k=2 10 vì 10CỊ0= 100 và X C^o10k ỉ 100 k=2 100 Ta có: 1O1100- 1 = (100 + l)100 - 1 = X cìo0100k -1 k=0 W0 100 = 1 + CjoQ.100 + Xcío0l°Ok -1 = 10000 + Xciool°° ỉ 10000 k=2 k=2 Ta có: (l + 7ĨÕ = X ckoo (xTO) k=0 100 100 , X C^o.lOí + X C^.IOÍVĨÕ 0<k = 2/<100 0<k = 2i+l<100 50 49 , = xc?'0.io' + X C^.IOÍVĨÕ (1) 1=0 1 = 0 (i-yĩõ)lw.ỵcfOŨ(-7ĩõf = gc“.io'-f O.io-.yĩõ (2) k=0 6=0 t = 0 Lấy (1) trừ (2) ta được: (1 + 7ĨÕ) -(1-ựĩõ) = 2 X Ció; .10 .7ĨÕ 6 = 0 / / \100 / I—— \100 v~" ^9/j.i _ —./J.1 . Suy ra VlO (l + x/ĩõ) -(l-TĨÕ) =2XC?M 10'+1e z. J (=0 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Tìm số hạng không chứa X của khai triển ị^x + -yj ĐS: C20 = 45. 3. Trong khai triển /, , V1 x?/x + 15/v28 yx 7 Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển (\/3 + V2)5 ĐS: c|= 10. tìm số hạng không chứa X biết: C" + C"'1 + C""2 = 79 ĐS: n = 12; C'i2 = 792.