Giải toán 11 Bài 2. Giới hạn của hàm số

  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 1
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 2
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 3
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 4
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 5
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 6
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 7
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số trang 8
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM số
A. KIẾN THỨC CÃN BẢN
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM số TẠI MỘT ĐIEM
Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm Xo và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {Xo}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi X dần tới Xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn e K \ {x0} và xn -> x0, ta có f(xn) dần tới L.
Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) -> L khi X -> x0.
x->Xg
Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí
Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M. Khi đó
X—>Xq	X—>Xq
lim [f(x) + g(x)] = L + M;
x-»x0
. lim [f(x) - g(x)] = L - M; x-»x0
. lim [f(x).g(x)] = L.M;
x->x0
f(x) L
lim -7-7 = 7“ (nếu M * 0). x->x0 g(x) M
Nếu f(x) > 0 và lim f(x) = L, thì L > 0 và lim Jf(x) = 7Ĩ .
X->x0	X—»xg
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với X * x0).
Giới hạn một bên
Cho hàm sô' y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi X -> Xo nếu với dãy số (xn) bất kì, Xo x0, ta có f(xn) -> L.
Kí hiệu lim f(x) = L.
X-»Xq
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi X -> x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a x0, ta có f(xn) -> L.
Kí hiệu lim f(x) = L. x->x0
Định lí: lim f(x) = L khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) = L.
X-»Xg	x-»xỏ	X->xj
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM số TẠI VÔ cực
Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +oo).
Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là số L khi X -> +00 nếu với dãy số (xn) bất kl, xn > a và xn -> +00, ta có f(xn) -» L.
Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) -> L khi X -> +00.
X—>+00
Cho hàm sô' y =f(x) xác định trên khoảng (-oo; a).
Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là sô' L khi X -» -00 nếu với dãy sô' (xn) bất kì, xn -00, ta có f(xn) -> L.
Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) -> L khi x -> -00.
X—>—<30
GIỚI HẠN VÔ cực CỦA HÀM số
Giới hạn vô cực
Định nghĩa: Cho hàm sô' y - f(x) xác định trên khoảng (a; +oo).
Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là -00 khi X -> +00 nếu với dãy sô' (xn) bất kl, xn > a và xn -> +00, ta có f(xn) -> -00.
Kí hiệu lim f(x) = -00 hay f(x) -> -00 khi X -> +00.
X—»+co
Nhận xét: lim f(x) = +00 lim (-f(x)) = -00.
X->+cc	X—>+<o
Các giới hạn đặc biệt
lim xk = +00 với k nguyên dương.
X—>+<30
lim xk = -00 nếu k là sô' lẻ.
X—>—<30
lim xk = +00 nếu k là sô' chẵn.
X->—00
Các quy tắc tìm giới hạn
lim f(x) x-»x0
lim g(x) x->x0
lim f(x).g(x) x-»xg
L > 0
+00 '
+ 30
-00
-00
L < 0
+00
-00
-00
+00
lim f(x) x-»x0
lim g(x)
x-»x0
Dấu của g(x)
.. f(x) lim -f-i x->x0 g(x)
L
±00
Tùy ý
0
L > 0
0
+
+00
-
-00
L < 0
+
-00
-
+00
2-5xà các dãy số (Un) với u„ = - ; (vn) với Vn =	.
 n	n
c. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Dùng định nghĩa, tim các giới hạn sau: x + 1
a) lim
X-.4 3x - 2 '
b) lim
x->«c x + 3
£jtải
a) Xét hàm số f(x) =
x + 1
3x - 2
có tập xác định
D = K\ ±	±;+00 ;x = 4 e
Giả sử (xn) là dãy số bất kì với xn >	; xn í 4 và x„ 4 khi n -> +00.
3
2-5xTính limUn, limVn, limf(Un) và limf(Vn).
 Từ đó có kết luận gi về giới hạn của hàm số đã cho khi X -> 0?
„ xác định trên K. x2 + 3
Giả sử (xn) là dãy số bất kì, xn -> +x khi n +00.
2 - 5x2	X2 - 5
Ta có limílXn) = lim—° = lim „ = -5.
b) Hàm sô' f(x) =
4+3
VA	i;~ 2-5x2
Vậy	lim —-- ■■ = -5.
*-»+« X2 + 3
Cho hàm số f(x) =	nếux>0
[2x nê’ux<0
(sjiai
limVn = liml - —I =0.
Ta có limun = lim— = 0;
n
Do un = — > 0 và vn =	<0, nên f(un) = /— + 1 và f(vn) = - —.
n	.11	V n	n
Từ đó: limf(un) = lim
— + 11=1; n
limf(vn) = lim— = 0.
Vi un -» 0 và vn -> 0, nhưng limflUn) * limf(vn) nên hàm số f(x) không có giới hạn khi X —> 0.
Tính các giới hạn sau:
a) lim
X ->-(
d) lim
3 X + 1
2x-6
4 - X
b) lim
X-.-;
e) lim
4-xz 2 X + 2
17
c) lim
Jx + 3 - 3
.6 X - 6
-2xz + X -1
a) Ta có lim
x2-l
x->-3 X +
x--'X ^1
ỐịiẦi
f) lim
X-XWC 3 + X
-- = lim (x -1) = -3 -1 = -4
1	x-x-3
4 - X2
lim	= lim(2-x)=4
X—»—2 X + 2	X—*—2
. 1. Vx + 3 - 3	.
lim	—-— = lim
x->6	x-6
(x + 3)-9	'	1	1
m 	 . . ,	7 = lim .	—- = —
*6 (x - 6)(\/x + 3 + 3)	x~*6 Vx + 3 +3	6
d) lim 4—- = lim
x-»+x 4 — X x->+co
XR)	2~x	2
\	4 = lim	= 4 = -2
17
Vì lim (X2 + 11 = +00 nên lim ——— = 0
0 lim '•'•y	‘ - lim
x-x+oo 3 + X	X—»+x
X -2 +
11 X X2
..I 3 , ,
XI - + 1
X
X—>+co \	'	x-*+co + 1
-2 +-2+ 4
= lim X	—-—— = -00 (vì lim X= +00 và lim	—-—— = -2 < 0).
X—»+cO	O	X—»+cC	X—>+CC	O „
- +1	— + 1
X	X
4. Tìm các giới hạn sau: 3x-5
a) lim
X—»2
(x-2)2
. . ,	2x-7	2x-7
t>) lim ■	;	c) lim ——7-.
X-.1- X - 1	X -1
Ốịiảí
lim(3x -5)= 1 > 0; lim(x - 2)2= 0 và (x - 2)2 > 0, Vx * 2
X—»2	’	x-»2	7
3x-5
=> lim—-	- = +0O
*“2(x-2)2
lim (2x - 7) = -5 lim -X - 7 = +00.
x-»r	X-»J-	'	x“i X -1
,.	/	_	2x — 7
lim (2x - 7) = -5 0 => lim ——— = -00
x-»i+	X-»1+	x-r X -1
5. Cho hàm số f(x) = * + 2 , có đồ thị như hình dưới.
X2 - 9
Quan sát đồ thị và nêu nhận xét vể hàm số đã cho khi X -> -a>, X -> 3' và X -» -3‘.
Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-»; -3),
x-»-x
lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3),
x->3’
• lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3).
ỐỊiải
a) lim f(x) = 0, lim f(x) = -00, lim f(x) = +oc. x->-=0	x-»3“	x->-3+
*1
'1 2Ì <x + X2 J
X2
1-1
l X2 J
x“b-+-2i	1+4
b) lim f(x) = lim ——^-4- = lim ——= 0
X—>—00	X-»-cc 9 (	9 I X—>—co - y
x	1--J
lim f(x) = lim x->3_
= +»
=-00 ; lim fíx) = lim .
x~3* (x - 3)(x + 3)	x”-3*	x-»-3+(x - 3)(x + 3)
Tính: a) lĩm (X -Xc + X-1);	C) lim vx -2X + Õ
X-++X	X->-X
t>) lim (—2x3 + 3x2 - 5)	d) lim + 1	.
X—»-x	X—>+« 5 - 2x
ốịlẦi
lim (x4 - X2 + X - 1) = lim X4 11 -1= +C0
X—»+co	X—>+cc	ỵ x^ XJ X? J
(vì lim X4 = +00 và lim I 1 -	+ “3 - Ậ I = 1 > 0)
X->+cc	X—>+ce Ỳ	X* X	X4 /
lim (-2x3 + 3x2 - 5) = lim xs(-2 + — - -^-) = +00
X->-co	X->-00	X
(vì lim X3 = -00 và lim (-2 + — - -^-) = -2-00	X
lim 7x2 - 2x + 5 = lim |x| /1- — + -^- =+00
X—00	x->-oo Y X x^
I 2	5-
(vì lim Ixl = +00 và lim 1 - — + —r = 1 > 0)
X-+-CŨ	X—>—00 ỵ	X X
= -l.
.„	77TĨ.X	x ? ■ x‘ •1	.... fĩ
-2
x^»+M	5 - 2x x-»+<o	(5
7. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A'B’ của nó tới quang tâm o cùa thấu kính.
Công thức thấu kinh là 4 + 37= / ■ d d' f
X -- - 2
í	d	d'
1«	-	*1«--
Tìm biểu thức xác định hàm số d' = <p(d).
Tim lim (d) và lim <p(d). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.
d->f*	d->f"	d~>+'
éỹlải
a) Từ hệ thức 3- + 37 = 3 suy ra: d' = tp(d) = tá J d d' f	d-f
b) • lim <p(d) = lim
J .r+	'	'	.f+
fd
d->r ' ’	d->f+ d - f
= +00.
Kết quả này nghĩa là: nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.
nghĩa là: nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực.
d-*+co
nghĩa là: nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính).
c. BÀI TẬP LÀM THỀM
1. Tính các giới hạn sau: X3 -4x2 +X + 2
a) lim
X->1 X - 3x + 2
b) lim
x-»0 2x
5/1 +- X — 1
c lim ; x-ii/x-1
-Hướng ìẫn: a) X3 - 4x2 + X + 2 = (x - l)(x2 - 3x - 2). Đáp số: 7.
d) lim x-»ỏ
b) Đáp sô':	;
c) Đặt t =	. Đáp số: .
3
Đặt t = 3/l + x và áp dụng: tn - 1 = (t - l)(tn_1 + tn’2 +...+ t + 1). Đáp số: .
n
2. Tính các giới hạn:
Đáp số: a)
X -1
lim——— X-»1 x" -1
n(n-l)
——	•
X -nx + n-1 b) lim-	—— 	
X-»1	x-1
Vx2 +1
b) lim ịx-Vx2 +5x );
X—>+cc \	/
Tính các giới hạn:
a) .Iim	 -
X'Ạ+Kx + 1 + Vx2 +1
lim ỉ7x2 +1 - >Jx3 -ì) .
X—>+cc \	/
Đáp số: a) — ;
2
Tìm các giới hạn sau:
a) lim (-3x3 + 4x2 - 2x + 1);
X—»-oo
. 5x~1.
lim
X-»1 1-x
ĐS: a) +oo;	b) +oo;
Tlm các giới hạn sau:
,	3x 2
a) lim -	;	;
X_>_1(x + 1) (x-2)
0.
b) lim A?2x4 -2x-1
X—>—00
.. 5x-1
lim--—-.
X—>1 1-X
c) -oo;	d) +oo;
b) lim-	——-	— .
*->-1(x+ 1)(X2 -2x + 3)
ĐS: a) +oo;
b) -00.