Giải toán 11 Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÔ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN 1. Định lí 1: lim sinx 1 x->0 X Định lí2: Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi X e R và (sinx)' = cosx. Định lí 3: Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi X e Rvà (cosx)' = -sinx. Định lí 4: Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi X * 77 + lot, k e z và (tanx)'= —. COS X Định lí5: Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi X * kn, k 6 z và (cotx)' = 7^—. sin X a) 2x +3 7-3x c) X2 + 2x + 3 3-4x X2 +7X + 3 X2 -3x Bàng đạo hàm (xn)' = nx"-1 @-7 (un)' = nun-1.u' (sinx)' - cosx (cosx)' = -sinx (sinu)' = u'.cosu (cosu)' = -u'.sinu (tanx)' = —= 1 + tan2x COS X (tanu)' = —= u'(1 + tan2u) COS u (cotx)' = ị— = -(1 + cot2x) sin X (cotu)' = = -u'(1 + cot2u) sin u B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: éịiải 5x-2-5(x-l) 3 (5x-2)2 (5x-2)2’ 2(7-3x) + 3(2x + 3) _ 23 (7-3x)2 (7-3x)2’ (2x + 2) (3 - 4x) + 4(x2 + 2x + 3) “2 (2x2 - 3x - 9j (3-4x)2 = (3-4x)2 (2x + 7)(x2 -3x) -(2x-3)(x2 + 7x + 3) _ -10x2-6x + 9 ^x2-3x) x2(x-3) 2. Giải các bất phương trình: X2 + X + 2 a) y' < 0 với y = c) y' > 0 với y = x-1 2x-1 X2 + x + 4 b) y' > 0 với y = a) Ta có y' = (2x + 1)(x-1)-(x2+x + 2) x2-2x-3 (x-1)2 (x-1)2 y' X2 - 2x - 3 < 0 x + 1 Tập nghiệm bất phương trình y' < 0 là s = (-1; 1) u (1; 3). b) y' = , = 2x(x + 1)-(x2+3) = x2+2x-3 (x + 1)2 (x + 1)2 , „ „ íX2 + 2x - 3 > 0 f X 1 y > 0 » < |x*-l |x*-l Vậy s = (-co; -3] u [1; +oo); 2(x2+x + 4)-(2x + l)(2x-l) _2x2+2x + 9 y = 777—— = . n 1-7Ĩ9 . 1 + 719 —< X < ——-— (x2+x + 4) (x2+x + 4) ' 1-7Ĩ9 1 + 7Ĩ9 2 ’ 2 y' > 0 o- -2x2 + 2x + 9 > 0 «• Vậy s = 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 5sinx - 3cosx; b) y = — ——— ; c) y = xcotx; sinx-cosx ... sinx . X /. „ . /7 "i d) y =——- + -T—-; e) y=y1 + 2tanx; f)y = sinyl + x X sinx úịiải y' = 5cosx + 3sinx , , . (sin X + COS x)' (sin X — COS x) — (sin X + COS x) (sin X — COS X y' = 1 77 - V" “ Z7 : (sin X-COS x) (cos X - s in x) (sin X - COS x) - (sin X + COS x) (cos X + sin x) (sin X - COS x)2 -2 -(cos X - s in x)2 - (sin X + COS x)2 ■ (sin X - cos x)2 (sin X-COS x)2 (—1) , X y' = cotx + X. . = cotx —y-5— sin X sin X d) y' = X cos X - sin X sin X - X COS X sin2 X = (xcosx - sinx). —5- - X2 sin2 X y‘ y' = (1 + 2 tan x)' 2y/l + 2 tan X COS2 xựl + 2tanx . x ■■■■■. cos Vl + X2 7Ĩ7? Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1); b) y=^-^(7x-3); c) y = (X - 2) ựx2 +1; d) y = tan2x - cotx2; e) y = COS éịiải a) y' = -2(2x3 - 9x2 + 1) + (6x2 - 18x)(9 - 2x); b,y'=(Ẳ+l>x-3)+7(67ĩ-^; , 2tanx 2x d)y = 7—+ - 2 + _• 2 _2 ’ cos X sin X /-5—- x(x-2} c) y' = Vx2 +1+ ? ■ -; VX2 +1 * _ 1 x e) y = - sin (1+X)Z Tính , biết rằng f(x) = X2 và (p(x) = 4x + sin 6ịiÀi Ta có f'(x) = 2x => f'(l) = 2; tp’(x) = 4 + -^cos^=> ọ'(l) = 4 vtyiS!4=i. ip'(i) 4 2 Chứng minh rằng các hàm số sau dây có đạo hàm không phụ thuộc x: y = sin6x + COS6X + 3sin2x.cos2x; y = COS2 f- x) + COS2+ x) + COS2 - x) + COS2 + x^j - 2sin2x. ijiai a) Ta có: y = (sin2x + cos2x)(sin4x - sin2x COS2X + cos4x) + 3sin2x cos2x = sin4x + 2 sin2x cos2x + COS4X = (sin2x + cos2x)2 = 1 => y' = 0: không phụ thuộc X. b) y = i l + cos^-^--2x^ + l + cos^-y- + 2x^ + l + cos^^--2x^ +1 <4ti o a + cos -2-1 + 2x I 3 J. (1- COS 2x) , . 2n n.. . _ - _ 471 = 1 + cos —1 cos 2x + cos —- cos 2x + COS 2x = 1-4 cos 2x - 4 cos 2x + cos 2x = 1 2 2 => y’ = 0: không phụ thuộc X. Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x; b) f(x) = 1 - sin(jt + x) + 2cos 2it + x tfiai a) Ta có f' (x) = -3sinx + 4cosx + 5 f' (x) = 0 -3sinx + 4cosx + 5 = 0 3sinx - 4cosx = 5 —sinx- —cosx = 1 5 5 cosxcostp - sinxsinq) = -1 (với coscp = —) 5 cos(x - (p) = -1 X = 7t + cp + k2rc, (k e Z). b) f'(x) = -cos(7t + x) - sini 71 + 4 = cosx + sin4 2 2 f'(x) = 0 sin4 = -cosx sin4 = sin X- — 2 2(2 - = x-- + k2tt X = 71 - k47t 4 = 7t-x + 4 + k27t .2 2 4ti 4ti (keZ)ox = 7t + k X = 7t + k-^- 3 3 k e z. 6ịiải g'(x) = 6x + 1 Giải bất phương trình f'(x) > g'(x), biết rằng: f(x) = X3 + X - Vi, g(x) = 3x2 + X + V2; f(x) = 2x3 - X2 + Vã, g(x) = X3 + y-Vã. a) Ta có f'(x) = 3x2 + 1; f'(x) > g'(x) 3x2 + 1>6x+1x2-2x>0 Tập nghiệm là: s = (-00; 0) u (2; +00); b) f'(x) = 6x2 - 2x, g'(x) = 3x2 + X Ta CÓ f'(x) > g'(x) 6x2 - 2x > 3x2 + xx2-x>0 Vậy s = (-00; 0) u (1; +00). c. BÀI TẬP LÀM THÊM Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = sinx ; b) y = tanx2 - cot2x; X y = cot V1 + X2 ; d) y = (3 - cos2x)3 Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi X e K: mx2 f '(x) > 0 với f(x) = — 3x2 + mx - 5; 3 g'(x) < 0 với g(x) = — -^- + (m + 1)x - 15 3 2 Chứng minh rằng f'(x) = 0 Vx e K, nếu: f(x) = 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x); f(x) = COS6X + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x; f(x) = cos^x-^jcos^x + ^ + cos^x + ^Jcos^x + ^-j; f(x) = COS2X + cos2^ -^- + x^cos2^