Giải toán 11 Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

  • Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác trang 1
  • Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác trang 2
  • Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác trang 3
  • Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác trang 4
  • Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác trang 5
  • Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác trang 6
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÔ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
1. Định lí 1:
lim
sinx 1
x->0
X
Định lí2: Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi X e R và (sinx)' = cosx.
Định lí 3: Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi X e Rvà (cosx)' = -sinx.
Định lí 4: Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi X * 77 + lot, k e z và
(tanx)'= —.
COS X
Định lí5: Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi X * kn, k 6 z và
(cotx)' =	7^—.
sin X
a)
2x +3 7-3x
c)
X2 + 2x + 3
3-4x
X2 +7X + 3
X2 -3x
Bàng đạo hàm
(xn)' = nx"-1
@-7
(un)' = nun-1.u'
(sinx)' - cosx (cosx)' = -sinx
(sinu)' = u'.cosu (cosu)' = -u'.sinu
(tanx)' = —= 1 + tan2x
COS X
(tanu)' = —= u'(1 + tan2u)
COS u
(cotx)' =	ị— = -(1 + cot2x)
sin X
(cotu)' =	= -u'(1 + cot2u)
sin u
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
éịiải
5x-2-5(x-l)	3
(5x-2)2	(5x-2)2’
2(7-3x) + 3(2x + 3) _	23
(7-3x)2	(7-3x)2’
(2x + 2) (3 - 4x) + 4(x2 + 2x + 3)	“2 (2x2 - 3x - 9j
(3-4x)2	=	(3-4x)2
(2x + 7)(x2 -3x) -(2x-3)(x2 + 7x + 3) _ -10x2-6x + 9 ^x2-3x)	x2(x-3)
2. Giải các bất phương trình:
X2 + X + 2
a) y' < 0 với y =
c) y' > 0 với y =
x-1
2x-1
X2 + x + 4
b) y' > 0 với y =
a) Ta có y' =
(2x + 1)(x-1)-(x2+x + 2)	x2-2x-3
(x-1)2	(x-1)2
y' 
X2 - 2x - 3 < 0 x + 1
Tập nghiệm bất phương trình y' < 0 là s = (-1; 1) u (1; 3).
b) y' =
, = 2x(x + 1)-(x2+3) = x2+2x-3 (x + 1)2	(x + 1)2
, „ „ íX2 + 2x - 3 > 0 f X 1 y > 0 » <
|x*-l	|x*-l
Vậy s = (-co; -3] u [1; +oo);
2(x2+x + 4)-(2x + l)(2x-l)	_2x2+2x + 9
y = 	777——	=	.	n
1-7Ĩ9 .	1 + 719
	—< X < ——-—
(x2+x + 4)	(x2+x + 4)
' 1-7Ĩ9 1 + 7Ĩ9
2 ’ 2
y' > 0 o- -2x2 + 2x + 9 > 0 «•
Vậy s =
3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 5sinx - 3cosx;	b) y = —	——— ;	c) y = xcotx;
sinx-cosx
... sinx . X	/. 	 „	. /7 "i
d) y =——- + -T—-;	e) y=y1 + 2tanx;	f)y = sinyl + x
X sinx
úịiải
y' = 5cosx + 3sinx
, ,	. (sin X + COS x)' (sin X — COS x) — (sin X + COS x) (sin X — COS X
y' = 1	77	 - V"	“	Z7	:
(sin X-COS x)
(cos X - s in x) (sin X - COS x) - (sin X + COS x) (cos X + sin x)
(sin X - COS x)2
-2
-(cos X - s in x)2 - (sin X + COS x)2
■ (sin X - cos x)2	(sin X-COS x)2
(—1)	,	X
y' = cotx + X. .	= cotx —y-5—
sin X	sin X
d) y' =
X cos X - sin X sin X - X COS X
sin2 X
= (xcosx - sinx). —5- -
X2 sin2 X
y‘
y' =
(1 + 2 tan x)'
2y/l + 2 tan X COS2 xựl + 2tanx . x ■■■■■. cos Vl + X2
7Ĩ7?
Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1);
b) y=^-^(7x-3);
c) y = (X - 2) ựx2 +1;
d) y = tan2x - cotx2;
e) y = COS
éịiải
a) y' = -2(2x3 - 9x2 + 1) + (6x2 - 18x)(9 - 2x);
b,y'=(Ẳ+l>x-3)+7(67ĩ-^;
, 2tanx 2x d)y =	7—+ -
	2 + _• 2 _2 ’
cos X sin X
/-5—-	x(x-2}
c) y' = Vx2 +1+ ?	■ -;
VX2 +1
* _ 1 x e) y =	- sin
(1+X)Z
Tính , biết rằng f(x) = X2 và (p(x) = 4x + sin
6ịiÀi
Ta có f'(x) = 2x => f'(l) = 2; tp’(x) = 4 + -^cos^=> ọ'(l) = 4
vtyiS!4=i. ip'(i) 4 2
Chứng minh rằng các hàm số sau dây có đạo hàm không phụ thuộc x:
y = sin6x + COS6X + 3sin2x.cos2x;
y = COS2 f- x) + COS2+ x) + COS2 - x) + COS2 + x^j - 2sin2x.
ijiai
a) Ta có: y = (sin2x + cos2x)(sin4x - sin2x COS2X + cos4x) + 3sin2x cos2x = sin4x + 2 sin2x cos2x + COS4X = (sin2x + cos2x)2 = 1
=> y' = 0: không phụ thuộc X.
b) y = i l + cos^-^--2x^ + l + cos^-y- + 2x^ + l + cos^^--2x^
+1
<4ti o a + cos -2-1 + 2x
I 3 J.
(1-
COS 2x)
, . 	2n	n.. . _ - _ 471
= 1 + cos —1 cos 2x + cos —- cos 2x + COS 2x
= 1-4 cos 2x - 4 cos 2x + cos 2x = 1 2 2
=> y’ = 0: không phụ thuộc X.
Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng:
f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x;
b) f(x) = 1 - sin(jt + x) + 2cos
2it + x
tfiai
a) Ta có f' (x) = -3sinx + 4cosx + 5
f' (x) = 0 -3sinx + 4cosx + 5 = 0
 3sinx - 4cosx = 5 —sinx- —cosx = 1 5	5
 cosxcostp - sinxsinq) = -1 (với coscp = —)
5
 cos(x - (p) = -1 X = 7t + cp + k2rc, (k e Z).
b) f'(x) = -cos(7t + x) - sini 71 + 4 = cosx + sin4 2 2
f'(x) = 0 sin4 = -cosx sin4 = sin X- — 2 2(2
- = x-- + k2tt
X = 71 - k47t
4 = 7t-x + 4 + k27t .2 2
4ti
4ti (keZ)ox = 7t + k X = 7t + k-^-	3
3
k e z.
6ịiải
g'(x) = 6x + 1
Giải bất phương trình f'(x) > g'(x), biết rằng:
f(x) = X3 + X - Vi, g(x) = 3x2 + X + V2;
f(x) = 2x3 - X2 + Vã, g(x) = X3 + y-Vã.
a) Ta có f'(x) = 3x2 + 1;
f'(x) > g'(x) 3x2 + 1>6x+1x2-2x>0
Tập nghiệm là: s = (-00; 0) u (2; +00); b) f'(x) = 6x2 - 2x,	g'(x) = 3x2 + X
Ta CÓ f'(x) > g'(x) 6x2 - 2x > 3x2 + xx2-x>0
Vậy s = (-00; 0) u (1; +00).
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = sinx ;	b) y = tanx2 - cot2x;
X
y = cot V1 + X2 ;	d) y = (3 - cos2x)3
Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi X e K:
mx2
f '(x) > 0 với f(x) = —	3x2 + mx - 5;
3
g'(x) < 0 với g(x) = —	-^- + (m + 1)x - 15
3	2
Chứng minh rằng f'(x) = 0 Vx e K, nếu:
f(x) = 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x);
f(x) = COS6X + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;
f(x) = cos^x-^jcos^x + ^ + cos^x + ^Jcos^x + ^-j;
f(x) = COS2X + cos2^ -^- + x^cos2^