Giải toán 11 Bài 5. Xác suất của biến cố

  • Bài 5. Xác suất của biến cố trang 1
  • Bài 5. Xác suất của biến cố trang 2
  • Bài 5. Xác suất của biến cố trang 3
  • Bài 5. Xác suất của biến cố trang 4
  • Bài 5. Xác suất của biến cố trang 5
§5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN cố
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
n(o)
Định nghĩa: Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đổng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số n(-- là xác suất
của biến cô' A, kí hiệu là P(A).
P(A) =
n(A)
n(Q)
CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
Định lí
P(0) = 0, P(Q) = 1.
0 < P(A) < 1, với mọi biến cố A.
Nếu A và B xung khắc, thì P(A uB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất). Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có: P( A ) = 1 - P(A).
CÁC BIẾN Cô' ĐỘC LẬP, CÕNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đổng chất hai lần.
Hãy mô tả không gian mẫu;
Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;
B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần".
Tinh P(A), PlB).
ỐỊiải
Không gian mẫu Q = {(i, j)| 1 < i, j < 6}.
Biến cô': “Tổng sô' chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10” là A = {(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}.
PíB) =
n(B)
n(Q)
11
36
Biên cô': “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhâ't một lần” là B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}.
Ta có: P(A) =	= A = 1;
n(fi) 36	6
Có bốn tấm bla như nhau được đánh sô’ từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.
Hãy mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cỏ’ sau:
A: “Tổng các sô’ trên ba tấm bằng 8”;
B: “Các sô’ trên ba tấm bia là ba số tự nhiên liên tiếp”.
Tính P(A), P(B).
Ố^lải
Không gian mẫu Q = 1(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)1; n(Q) = 4
Biến cố: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8” là A = {(1, 3, 4)}, n(A) = 1; Biến cố: “Các sô' trên ba tấm bìa là ba sô' tự nhiên liên tiếp” là
B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}, n(B) = 2
c) Ta có:
P(A) =
n(A)
n(Q)
1.
4
n(B) 2	1
n(Q) - 4 ■ 2
Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bổn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.
ỐỊiẦi
Ta có 8 chiếc giày từ bô'n đôi giày cỡ khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 8 chiếc giày nên mỗi lần chọn 2 chiếc giày là một tổ hợp chập 2 của 8 phần tử. Vậy sô' phần tử của không gian mẫu là
n(Q) - 28 - 7 ■
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm, xét phương trình X2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:
Phương trinh có nghiệm;	b) Phương trinh vô nghiệm;
Phương trình có nghiệm nguyên.
ỐỊiẦl
Không gian mẫu Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(Q) = 6.
Phương trình X2 + bx + 2 = 0 có nghiệm A = b2 - 8 > 0 |b| > 2\Í2
Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm”. Ta có A = {3, 4, 5, 6}, n(A) = 4.
Vậy P(A) =
n(B) 21 n(Q) - 6 - 3
Gọi B là biến cô': “Phương trình vô nghiệm”. Ta có: B = Ã = H, 2) => n(B) = 2. Vậy P(B) =
Lần lượt thay b = 3, b = 4, b = 5, b = 6 ta thây chỉ có b = 3 thì phương trình X2 + bx + 2 = 0 có nghiệm nguyên (vì với b = 4, b = 5, b = 6 thì A không là sô' chính phương nên phương trình không có nghiêm nguyên) Gọi c là biến cô': “Phương trình có nghiệm nguyên” ta có c = {3}, do dó P(C) = ị.
Tử cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con Tính xác suất sao cho:
a) Cả bốn con đểu lá át,	b) Được ít nh'ất một con át;
Được hai con át và hai con K.
ốịiẦl
Không gian mẫu gồm các tồ hợp chập 4 cua 52 (con).
Vậy n(Q) = Cg2 = 270 725.
Kí hiệu A, B, c là các biến cố cần tính xác suất tương ứng với các câu a), b), c).
Ta có n(A) = C? = 1, P(A) = ^44? =	' 0,0000037.
n(Q) 270725
Gọi B là biến cô": “Trong bốn con bài rút ra có ít nhất một con Át” thì B là biến cố: “Trong bôn con bài rút ra không có con Át nào”.
Vì n( B ) = c^g = 194580
_ n(B 194580	—
Nên P( B ) = —= ___ * 0,7187 : P(B) = 1 - P( B )	0,2813.
n(Q) 270725
n(C) = c2.c2. = 36, P(C) =	= —If— = 0,000133.
n(Q) 270725
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:
Nam, nữ ngồi đối diện nhau;
1
2
3
4
Ốịlải
Nữ ngồi đối diện nhau.
Ta đánh số bôn ghế như hình vẽ.
Kí hiệu A: “Nam, nữ ngồi dôi diện nhau”,
B: “Nữ ngồi đốì diện nhau”.
Xếp nam ngồi ở ghế © và ghế ©: Có 2 cách.
Sau đó xếp nữ ngồi ở ghế ® và ghế ©: Có 2 cách.
Trường hợp này theo quy tắc nhân có 2.2 = 4 cách Đổi chỗ cho hai bạn đối diện cho nhau, có 4 cách Vậy sô' cách để nam, nữ ngồi đối diện là 4.4 ■- 16 cách Không gian mẫu là hoán vị của 4 phần tử nên n(Q) - 4! = 24
Xác suất đê nam, nữ ngồi đốì diện nhau là: P(A) = 4— = 4.
24	3
b) Vì có 2 nam và 2 nữ xẽp vào 4' ghê như hình vẽ nên khi nữ ngồi đôi diện nhau thì lập tức nam cũng ngồi đối diện nhau. Mặt khác, các cách xếp chỉ có thế là nam nữ ngồi đôi diện hoặc nữ đối diện nhau, hoặc nam đòi diện nhau, do đó trong trường hợp này B = A .
Vậy: P(B) = P( A ) = 1 - P(A) = ị . •
3
7, Có hai hộp chứa các quả cấu. Hộp thử nhất chua 6 quả trắnq. 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Tù mồi hộp lấy ngẫu nhiên một quả.
Kí hiệu: A là biến cố' "Quả lấy tử hộp thứ nhất trắng";
B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai tiắng".
Xét xem A vá B có độc lập không.
Tinh xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Tính xác suất sao cho hai quả cáu lấy ra khác máu'.
ốỊiải
Đánh sô’ các quả cầu trong mỗi hộp từ 1 đến 10 sao cho các quả cầu trắng trong hộp 1 được đánh số từ 1 đến 6 và các quả cẩu trắng trong hộp thứ hai được đánh số từ 1 đến 4.
Ta có Q = {(i, j) 11 < i , j < 10}; n(O) = 10.10 = 100
a) Ta có A = {(i, j) 11 < i < 6; 1 < j < 10};
B = }(i, j)|l < i < 10; 1 < j < 4}. n(A) = 6.10 = 60;
6.10 _ 6 .
- 10 ’
Từ đó P(A) =
10.10
AB = {(i, j)| 1 < i < 6; 1 < j < 4}; 6.4
P(AB) =
10.10
n(B) = 10.4 = 40 10.4 _ 4 “ 10
P(B) =
10.10 n(AB) = 6.4 = 24
- P(A).P(B). Vậy: A và B độc lập.
Kí hiệu biến cô’ C: “Lây được hai quả cùng màu”.
Ta có c = A.B u A.B. Do hai biến cô’ AB, AB xung khắc và A, B là hai biến cố độc lập nên P(C) = P(AB) + P( AB ) = P(A)P(B) + P( A )P( B )
24.	24 _ 48 _ 12
" ĩõõ + 100 ” 100 - 25 '
Do biến cô’ “Lấy được hai quả khác màu” là c nên xác suâ’t cần tìm là
P(C ) = 1 - P(C) =
13 25 '
c. BAI TẠP LAM THEM
1. Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 6 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu đỏ
Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi
Cả 3 viên đều là bi màu xanh.
ít nhất 1 viên bi là màu xanh.
ĐS:a)ịặ- = i;	b) 1-
c?o 6
Tính xác suất đê trong 3 viên bi lây ra có:
_ 1	1 _ 29
cf0 30	30 '
Trong một hộp có 12 bóng đèn giống nhau, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bóng. Tính xác suất để:
a) Được 3 bóng tốt. b) Được 3 bóng hỏng. c) Được đúng 1 bóng tốt.
ĐS: a)
f;3
b) ã c3
12
c)
pi c,? ^8-^4
p3
^12
Cho hai hôp bi. Hộp thứ nhất có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp thứ hai có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Từ mỗi hộp lấy ra 1 viên bi. Tính xác suất để:
Được 1 bi xanh và 1 bi đỏ.
Được 2 bi đỏ.
Được ít nhất 1 bi đỏ.
ĐS: Ap Biến cô lấy ờ hộp thứ nhất là đó.
A2: Biến cố lấy ở hộp thứ hai là đỏ.
1) A = Aj Aa + AiA2là biến cố lấy 1 xanh và 1 đỏ
2)
P(A)= A 6	7	4
10 10 10 10
P(B) = P(A,A2) =
JL ± ĩõ'ĩõ
46
100
= 12 - ĩõõ
P(A) + P(B) =
100