Giải toán 11 Bài 2. Dãy số

§2. DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u : N* -> R n i-> u(n).
Ta thường viết dãy số dưới dạng Ui, u2, .... un,...
U! gọi là số hạng đầu, Un là số hạng tổng quát của dãy số
Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2, 3, ..., m} với m e N* được gọi là một dãy số hữu hạn.
CÁCH CHO DÃY số
Cho số hạng tổng quát Un của nó bằng công thức.
Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là:
Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)
Cho hệ thức truy hồi tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
DÃY SỐ TĂNG, DÃY số GIẢM
Định nghĩa
Dãy số (Un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có Un Un+1
DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho Vn e z’, Un < M
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho Vn e z’, Un > m
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho Vn e z’, m < Un < M.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Xét tính đơn điệu của dãy số:
Cách 1: Lập hiệu Un+1 - un
Nếu Un+1 - Un > 0 Vn £ z’, thì Un+1 > un: (un) tăng Nếu Un+1 - Un < 0 Vn £ z’, thì Un+1 < un: (un) giảm
Cách 2: Nếu un > 0; Vn e z’, thì lập tỉ số
un
Nếu > 1; Vn e z', thì nn+i > un: (un) tăng Un
Nếu ^±1 < 1; Vn £ z*. ihì nn+, < un: (un) giảm un
Chứng minh dãy sô (un) không tăng không giảm:
Chỉ ra rằng u, u3 hoặc u, > u2 < u3.
Thường là dãy số có số hạng (-1)"
Dãy sô bị chặn:
(Un) bị chặn trân 3M sao cho Un 3m sao cho Un > m, Vn e z (un) bị chặn 3M > 0 sao cho I Un I < M, Vn £ z
2"-1 .	. f, if.
)u„= 1 + 3 ;
I nJ
a) Un =
2"-1
b) Un =
2" + 1
c) I
ỐỊiải
d) Un =
u, =
1;
u2 =
3’
u3 =
7’
u4 =
15 ;
u5
Ui =
1
ĩ
u2 =
3
u3 =
7
9’
u4 =
15
u5
Ul =
3
2;
u2 =
5
9
4’
2
Ị— ì
u3 =
u4 =
17
u5
Ui =
1
r~ 5
u2 =
u3 =
l3j
3
u4 =
4
/ >
u5
/10
/17
_5_
31
31
33
6
5
5
26
Cho dãy (Un), biết: u 1 = — 1, Un„ = Un + 3 với n > 1.
Viết nãm số hạng đẩu của dãy số.
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: Un = 3n - 4.
u3 = u2 + 3 = 5
ỐỊiải
U] = -1;	u2 = U] + 3 = 2,
u4 = u3 + 3 = 8;	u5 = u4 + 3 = 11
Với n = 1 ta có U] = 3.1 - 4 = -1 (đúng).
Giả sử Uk = 3k - 4, khi đó: Uk+1 = Uk + 3 = (3k - 4) + 3 = 3(k + 1) - 4. Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1 nên đẳng thức đúng với mọi n > 1.
Dãy số (Un) cho bởi: u, = 3; Un,, = yjl + u^ , n > 1.
Viết năm số hạng đấu cùa dãy số.
Dự đoán công thức số hạng tổng quát u„ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
ốỊiảl
U5 = Vl + 12 — Vl3 .
Ui = 3, u2 = Vl + 32 = Vĩõ , u3 = Vl + 10 = Vĩĩ, u4 = Vl + 11 = VĨ2 ,
Viết 3 = VÕ và nhận xét
VÕ = VĩTẽ Vĩõ = V2+8 Vl 1 = V3 + 8 VĨ2 = V4 + 8
(1)
Dự đoán Un = Vn + 8 với n e N*.
Chứng minh công thức (1) bằng quy nạp.
Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
Giả sử đã có uk = Vk + 8 với k > 1.
Theo công thức dãy số, ta có
Uk+1 = ựl +	+ (Vk + 8^ = ự(k + l) + 8
Vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, công thức (1) đúng với mọi n > 1.
Xét tính tãng, giảm của các dãy số (Un), biết:
a) Un = 7 - 2; n
b) Un =11-4;	c)u„ = (-1)"(2" + 1);
d) Un =
2n + 1 5n + 2
Ốịiảl
a) Ta có Un+1 - un =
-2—-2-- + 2 =
n+1 n	n+ln
-1
n(n +1)
=> Un+1 < un với mọi n e N*. Vậy (un) là dãy sô' giảm,
Ta có: un =	. = ——-— = 1
2 , 2 2 2 un+1 - ưn = 1 -	- 1 + —=— = —> 0
n+2	n+1	n+1	n+2
=> un+1 > un Vn G N*.
Vậy (un) là dãy số tăng.
Ta có Uị = -3, u2 = 5, u3 = -9, vì U! u3 nên (un) là dãy không
tăng, không giảm.
Jn+1
d) Ta có:
2n + 3 5n + 2	10n2 + 19n + 6
un 5n + 7 2n + 1	10n2 + 19n + 7
=> un+1 < un Vn e N*.
Vậy (uni là dãy số giảm.
Trong các dãy số (Un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
a) Un = 2n2 - 1;
b) u„ =
n(n + 2)
c) Un =
2nz -1
d) Un = sinn + cosn.
Ốịiải
Vì un = 2n2 - 1 > 1 với mọi n e N* nên dãy (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên vì khi n lớn vô cùng thì 2n2 - 1 cũng lớn vô cùng.
Ta có un > 0 với mọi n e N*.
Vi n(n + 2) > 3 nên un = —;■ 1 -- < 4 với moi n 6 N*. n(n + 2)	3
Vậy dãy số’ (un) bị chặn vì 0 < un < với mọi n 6 N*.
3
Với n > 1 thì 2n2 - 1 > 0 => un = —Ậ— > 0, Vn e N* 2n2-l
Vì 2n2 - 1 > 1, nên un = —7	< 1 với mọi n e N*.
2n2 -1
Vậy 0 < un < 1, Vn e N* nếu (u„) bị chặn.
d) Ta có |un I =
72 sin^n +
<72 Vn e hỉ*
=> - 72 (un) bị chặn.
c. BÀITẬPLÀMTHÊM
1. Viết 4 số hạng đầu của dãy (an):
. ~	l.3.5...(2n-1)	,. _	_ nn	, _	IX
a) an =	; b)an=cos77; c) an+i = an+an-i (a,= a2 = 1)
2.4.0. ..2n	2
2. Xét tính đơn điệu của các dãy (an);
. 4"-1. a)a"
đ) a„ = (0,4)".n; Đáp số: a) Tãng; c) Tăng;
b) an=(-i)n--^;
n + 1
c) an
e) an = 72 + 72 + ... + 72 (n số 2). b) Không tăng, không giảm; d) Giảm;	e) Tăng.
3. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới của các dãy số:
5n-3
a) an =
5n + 3
b) an = (-1)" + cosn;
. n _ 1 , 1 , 1 . ..
an	d) n„ =
n 1.2 2.3 n(n + 1)
; e)an = (-1)ncos7L. 7n2+2n + n	2"