Giải toán 11 Bài 1. Giới hạn của dãy số

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY số
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY số
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu I Un I có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = 0 hay un -> 0 khi n ->+00. n->+00
Dinh nghĩa 2
Ta nói dãy sô' (vn) có giới hạn là sô' a (hay vn dần tới a) khi n -> +00, nếu lim (vn - a) = 0.
n->+00
Kí hiệu: lim vn = a hay vn -> a khi n -> +00.
n—>+co
Một vài giới hạn đặc biệt
lim - = 0; lim -ị- = 0 với k nguyên dương.
n—>+ n	n—>+cc
lim qn = 0 nếu I q I < 1.
rw+oo
Nếu Un = c (c là hằng số) thì lim Un = lim c = c.
n->+00	n—>+cc
ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Định li 1
Nếu limUn = a và limVn = b thì
lim(un + vn) = a + b
lim(un - Vn) = a - b
lim(un.vn) = a.b
lim — = (nếu b * 0)
vn b
Nếu Un > 0 với mọi n và limUn = a thì a > 0 và lim ỰŨ7 = Vã.
TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cho cấp sô' nhân (un) lùi vô hạn có I q I < 1, khi đó
„	 u<
s = Ui + U2 + U3-+ ... + un + ... — -——
1-q
GIỚI HẠN VÔ cực
Định nghĩa
Ta nói dãy số (un) có giới hạn +0C khi n -> +00, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:	limUn	= +00	hay Un -> +00 khi n ->	+00.
Dãy số (un)	được	gọi là	có giới hạn -00 khi n	-+ +00 nếu lim(-Un) = +00.
Kí hiệu:	limUn	= -00	hay Un -> -00 khi n ->	+00.
Nhận xét:	limUn	= +00	 lim(-Un) = -00.
Một vài giới hạn đặc biệt
limnk = +00 với k nguyên dương.
limqn = +00 nếu q > 1.
Định lí
Nếu limUn = a và limVn = ±00 thì lim — = 0.
vn
Nếu limUn = a > 0, limVn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim — = +00.
vn
Nếu lirriUn - +00 và limVn = a > 0 thì limUnVn = +00.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cử sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa sô' chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).
Gọi Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu ki thử n.
Tìm sô' hạng tổng quát u„ của dãy số (Un).
Chứng minh rằng (Un) có giới hạn là 0.
Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số nãm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10 6 g.
Ốịlẳi
Ta có: U] - - ; u2 = — ; u3 = - ;...
2	4	8
Bằng quy nạp ta chứng minh được Un = -T-, n e N .
2n
Áp dụng tính chất limq" = 0 nếu I q I <1.
Ta có lim = limfỉì =0 2n I2J
kg-
Ta có 10 6 g = 10 9 kg = -Ỉ- 109
Vi un -> 0, nên I un I = —- có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể 2n
nhỏ hơn —— kể từ chu
109
từ một số hạng nào đó trở đi. Như vậy, I un kì n0 nào đó. Nghĩa là sau một sô' năm ứng với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đô'i với con người.
Để hiểu rõ hơn, nên bổ sung vào lời giải trên nội dung sau:
Cụ thể, muôn — 109.
2n 109
Chẳng hạn, với n0 = 36, thì 236 = (24)9 = 169 > 109. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864000 (năm))! chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.
2.
Biết dãy số (Un) thỏa mãn I Un — 11 < với mọi n.
n3
Chứng minh rằng limUn = 1.
Ốịlải
. . ..	3n	2	6n — 1
và lim(3 + —) = lim 3 + lim— = 3 nên	= lim
n	n	3n + 2
 + n-5
b lim	—
2n2 +1
.. ..	\'9n2 -n + 1
d) lim -
Vì lim—5- = 0 nên n3
hạng nào đó trở đi.
có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một sô'
Mặt khác, ta có I un - 11 < —Y =
với mọi n.
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra I un - 11 có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một sô' hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim(un - 1) = 0. Do đó, limun = 1.
3. Tìm các giới hạn sau:
3n +5.4n
a) lim
c) lim
4n +2"
4n-2
CịiẦi
a) lim
6n-l 3n + 2
= lim-
= lim-
,4 = 2
2	3
Vì lim(6 - —) = lim 6 - lim — = 6 n	n
b) lim
3n2 + n - 5
2n2 +1
= lim-
n |3 + „-Z2 n n2
= lim-
344
n n2
2 1 2
lim 3 + lim — - lim
lim2 + lim-Aril2
c) lim
3n + 5.4n
4n +2n
4n
[(T
n
+ 5
4n
1 +
rư
<2j J
= lim-
= lim
jy
l+li
viltag] -lta(i) =0
, , yfan2 - n + 1 d) lim—A	-A—- = lim
4n-2
9-i + A
9-^ + 4
n n2
n| 4-f n
4-2
4. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ
dược đánh sô’ lần lượt là 1, 2, 3	 n	 trong đó
cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.
Giả sử quy trình tô màu cùa Mickey có thể tiến ra vô hạn.
Gọi Un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính Ui, u2l u3 và Un.
Tính limSn với Sn = Ut + u2 + U3 + .. + Un.
a) Ta có Uj = u2 = -Z-, u3 = -5-,..., un =-
(un) là cấp số nhân lùi vô hạn với Ui = ỉ công bội q = -ị, do đó:
Z^ZdZ
(-l)n
Đặt Up =	. Ta CÓ:
n 10n-l
Un+1 , (-l)n+1 : (-1)° -	1
un 10n	10n_1	10
Suy ra dãy sô' (un) là cấp số nhân lùi vô hạn với Ui = -1, công bội q =
	 Ui	-1
Vậy s = Ui + u2 + u3 + ... + un + ... = -—— =	
10
11
1_q 1 +
10
6. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Z^ZdZ
Ta CÓ a = 1,020202... = 1+ JL +	+ ... +	+ ...
100 1002 100"
2 2 2 2 Vi	_ là một cấp sô' nhân lùi vô hạng với Ui = -r~,
100 1002 100n 100
q = -Ị— nên: a = 1 + 100
2
100
1-
2 101 1	"	+ 99 _ 99
100
7. Tính các giới hạn sau: a) lim(n3 + 2n2 - n + 1); c) lim (ựn2 -n -n) ;
b) lim(-n2 + 5n - 2); d) lim ^ựn2 -n +n^ .
2 1 n n2 n"
úịlải
Ta có lim(n3 + 2n2 - n + 1) = limn3| 1 + — - —2" + -y I = +°°
(vì limn3 = +00 và lim I 1 + — -	+ -ỉ-1 = 1 > 0)
l n n n ;
lim(-n2 + 5n - 2) = limn2 ^-1 + — -	= -00;
= lim-
Í1--+1
n
1
"2
(vì limn2= +00 và lim^-1 + — _~2"^ = -1 < 0)
lim|Vn2-n-n| = lim—-- ~n ■—r = lim . Ễ ~n	:
1 ’ n^ + 1
limịựn’ - n + nJ = limn Jl - ỉ + 1 =+CO
(vì limn = +OO và lim . 1 - — + 1 = 2 > 0).
V n
8. Cho hai dãy số (Un) và (vn). Biết limun = 3; limvn = +--C. Tính các giới hạn:
3u -1 a) lim n
u„ +1
V +2 b) lim-7-—-
V? -1
Ốịiải
s 3un-l 31imun-l 3.3-1	-
a) lim —s—— = —7-—--—— =	' - = 2
• un + 1 limun +1	3 + 1
b) lim ~ = lim
V2 -1
JL + —
V V?
V n vn 7
1-
.	= lim——7^ = 0 (vì lim —= 0).
1-4
B. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Tìm các giới hạn sau:
(-1)" sinn
a) lim
ĐS: a) 3;
»4
2. Tìm các giới hạn limUnVỚi: -n4 + 3n2 -1
a) Un =
2n4 +1
ĐS: l)-±;
b) 0.
Tìm tổng của cấp số nhân: a) 8,4,2, 1, 1...;
ĐS: a) 16;	b) 4 + 372 .
Tìm các giới hạn sau: a) lim^7n2 +n + 1 -nJ;
1
c) lim
7n + 2 - 7n + 1 ’
e) lim
Vn2
+1 - Vn +1
3n + 2
. . ..	3n-2
b) lim -T-—-
2n + 1
b) Un =
3.5n
6n+1 + 2
b)
72 + 1 1 2 72-1’ 2-72’2"
b) limpn2 +n + 1 + nj; d) lim(7n + 1 - 7n)n .
Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a) 0,444...;	b) 0,2121..;	c) 0,32111...