Giải Toán 12: Bài 1. Khái niệm số phức

CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khái niệm sô' phức
Đơn vị ảo: số i sao cho i2 = -1 được gọi là đơn vị ảo. Số 1 được gọi là đơn vị thực.
số phức: Mỗi biêu thức z = a + bi với a, b e R được gọi là một số phức. Số a được gọi là phần thực và số b được gọi là phần ảo của số phức z.
Ta qui ước:
+ Nếu z = a + Oi thì z = a
+ Nếu z = 0 + Oi thì z = 0
+ Nếu z = 0 + bi với b e R \Ị01 thì ta viết z = bi và gọi z là số thuần ảo.
Tập hợp các số phức: Tập hợp tất cả các số phức được kí hiệu là c. Vậy:
c = (z = a + bi|a, b e RỊ
Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, a’, b, b’ e R)
z = z’ a = a’ và b = b’
Biểu diễn hình học các sô phức
Mỗi số phức z = a + bi (a, b e R) được biểu diễn bằng diêm M(a; b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta viết M(a + bi) hay M(z). Mặt phẳng tọa độ Oxy biếu diễn các các số phức được gọi là mặt phẳng phức.
Trục hoành Ox, biểu diễn các số thực z = a + Oi được gọi là trục thực.
Trục tung Oy, biếu diễn các số thuần ảo z = 0 + bi được gọi là trục ảo.
Nếu điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi -thì độ dài |om| được gọi là môđun của z.
Kí hiệu: |z|
Vậy: |z| = ựa2 + b2
Sô phức liên hợp
Định nghĩa
Sô phức liên hợp của số phức z = a + bi (a, b e R) là số phức kí hiệu z định bởi z = a - bi
B. BÀI TẬP
Bài 1
Tính phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
z = 1 - ni	b) z = V2 - i
z = 2V2	d) z - -7i
Giải
Gọi X là phần thực và y là phần ảo cúa số phức z, tức là z = X + yi.
X = 1 và y = -n	b) X = V2 và y = -1
c) X = 2V2 và y = 0	d) X = 0 và y = -7
Bài 2
Tìm các số thực X và y, biết:
(3x - 2) + (2y + 1 )i = (x + 1) - (y - 5)i
(1 - 2x) - iVã = Võ + (1 - 3y)i
(2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1 )i
Giải
Ta có hệ phương trình:
Ta có hệ phương trình:
2x + y = x-2y + 3	íX - 0
2y-x = y + 2x + l	Ịy = 1
Bài 3
Trên mặt phảng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các sô' phức z thỏa mãn điều kiện:
Phần thực của z bằng -2.
Phần ảo của z bằng 3.
Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2).
Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 31.
Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2],
Giải
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z có phần thực bằng -2 là đường thẳng có phương trình X = -2.
Tương tự: là đường thẳng y = 3.
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z có phần thực thuộc khoảng (-1; 2) là dãi nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giữa hai đường thẳng X = -1 và X = 2 (không kể các điểm nằm trên hai đường thẳng này).
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z có phần ảo thuộc khoảng [1; 3] là dãi nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giữa hai đường thẳng y = 1 và y = 3, kể các điểm nằm trên hai đường thẳng này.
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z có phần thực và phần ảo đều thuộc khoảng [-2; 2] là một hình vuông nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giới hạn bởi các đường thẳng X = -2, X = 2, y = -2 và y = 2, kể các điểm nằm trên các cạnh của hình vuông.
Tính |z| với:
a) z = -2 + 1V3
c) z = -5
a) |z| = 7(-2)2 + (V3)2 = VỸ
c) |z| = 5
Bài 4
z = V2 - 3i
z = iy/3
Giải	
|z| = V(V2)2 + /-3)2 = VŨ
d) |z| = V3
Bài 5
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện:
|z| = 1	b) |z| < 1
1 < |z| < 2	d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Giải
Gọi z = X + yi (x, y e R) và M(x; y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phảng phức Oxy.
|z| = 1 X2 + y2 = 1
Vậy tập hợp các điểm M với |zj = 1 là đường tròn tâm o bán kính R = 1.
Ịz| 7X'2 + y2 < 1 o X2 + y2 < 1
Vậy tập hợp các điểm M với |z| < 1 là hình tròn tâm o bán kính R = 1.
c) 1 1 1 < x2 + y2 < 4
Vậy tập hợp các điểm M với 1 < |z| < 2 là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (cp và (C2) tâm o, bán kính lần lượt là Rx = 1 và R2 = 2, kể cả các điểm trên (C9) nhưng loại các điểm trên (C1).
[x2+y2=l
7 = 1
d)
x = 0
y -1 ■ Vậy tập điểm M là tập {(0; 1)}.
Tìm z, biết: a) z = 1 - 172
c) z = 5
a) Z = 1 + 172
c) Z = 5
Giải
z = -72 + 173
z = 7i
b) z =-72-173
Z = -7i