Giải Toán 12: Bài 1. Lũy thừa

CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA -
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
§1. LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Lũy thừa với sô' mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên dương
Cho a là một số thực, n là một số nguyên dương.
Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu an, được xác định như sau:
a1 = a
an = ạ.a.-.ạ với n > 1
n thừa số
Số a được gọi là cơ số, số n được gọi là số mũ của lũy thừa an.
Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:
Cho a là một số thực khác 0 và n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:
a° = 1; a“n = -4
a11
Căn bậc n
Cho số thực a và n là một số nguyên dương.
Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bn - a.
• Khi nlẻ, a e R: Tồn tại duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu \/ã. <a < 0: không tồn tại căn bậc n của a;
a = 0: có một căn bậc n của 0, đó là 0, kí hiệu ‘'Vô = 0; a > 0: có hai căn bậc n của a, là hai số đôi nhau.
Ta kí hiệu giá trị dương là \[ã (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm là -y/ã .
Nhận xét:
- Căn bậc 1 của số a chính là a.
- Căn bậc n của số 0 là 0.
Các tính chất của căn bậc n:
Giả sử các biểu thức dưới đây đều có nghĩa:
Lũy thừa với sô' mũ hữu tỉ
Cho a là một số thực dương và số hữu tỉ r = —, trong đó m e n e N*. n
Ta định nghĩa
m X	’
ar = ạõ = Va"
Ta thường viêt an với me z, ne N* và — là phân sô tôi giản.
a11 = \[ã (a > 0, n nguyên dương)
Lũy thừa với sô' mũ vô tỉ
Cho số dương a, a là một số vô tỉ và (rn) là một dãy số hữu tỉ sao cho limrn = a.
Khi đó ta định nghĩa:
' ag = lim a1" )
Tính châ't
Với a > 0, b > 0 và các số a, p e R, ta có:
att.aP = a“+P	2)	= aa_(ỉ	3) (ab)“ = aub“
a
b
6) * Nếu a
* Nếu 0
a“
ap
4)
5) (a“)P = a“p
1 thì a > p khi và chỉ khi a“ > ap.
a p khi và chỉ khi a“ < ap.
B. BÀI TẬP
Bài 1
Tính:
144■* : 9“* = 122.3’2 = 32.23.3 2 = 3°.23 = 8
/ I \-0,75	5	3	5
-=-	+ 0,25 2 = (2“4) 4■ +(2'2)'2 = 23 + 25 = 40
_2	_3	_2
(0,04)“1,5 - (0,125) 3 = (5~2 )’2 - (2’3 )’3 = 53 - 22 = 121
Bài 2
Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a3.Vã b) b2.b3.Vb c) a3 : Vã d) Vb : b6
Giải
a3.Vã = a3.a 2 = a3 2 - a® (a > 0)
bM.Vb = b2.b3.b® = b2+3+6 = b (b > 0)
a3 : Vã = a3.a 3 = a (a > 0)
Vb : b® = b3.b ® = b3’® = b® (b > 0)
Bài 3
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
a) Ta có: l3’75 = 1; 2’1 =|;
Giải
-ì = 23 = 8
3,75.
Xếp theo thứ tự tăng dần: 2 ; 1
7	1 z , r
ị; 32® = (25)® = 2 3
Xếp theo thứ tự tăng dần: 98°;325;| — I
b) Ta có: 98° = 1;
Bài 4
Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
4 <	1
a3 a 3
+ a3
a) 1 / 3	1 >
a4 a4 + a 4
b)
b®(VĨ7 - Vb77)
b3(Vb-Vb77)
c)
a3b 3 - a 3b3
3/~2	3/t~2~
Va - <JD
a3 vb + b3 yja
Giải
a)
b)
4
a3
a4
a3 3 + a3 3
171 d
a4 4 + a4 4
14	11
b3.b3 -b5.b’5
2	 2	1	2	2
b3(7b - 7b^) b3.b3 - b3.b 3
—ỵ = 1 (b > 0 và b * 1)
b — 1
1 1
c) Nhân tử và mẫu với Tab = a3.b3, ta được:
1	1	1 1	2	2	 	
a3b’3-a’3b3 a3-b3	7a2-W _ 1 , „ u
1 1
d) Nhân tử và mẫu với Tab _ a3 ^3, ta được:
a3 Vb + b3 Tã _ a3b2 + b3a2 _ Tab a3b2 + b3a2
6/7 +e/b ~ Ị n = 1 Ị ■ I n
va + vu aẽ+bẽ a3b3 a6+b6
11	11
= Tab.
a3b2
+ b3a2
1 1
Vab (a > 0, b > 0)
a2b3 + b2a3
Bài 5
Chứng minh rằng:
/ 1 \2ự5 z 1 \3V2
a)
b) rj6yf3 y3\/6
Giải
Ta CÓ 2^5 > 3V2 VÌ 2V5 > 3V2 (2>/5)2 > (3V2)2 c=> 20 > 18 (đúng)
Ta CÓ 673 > 3>/6 VÌ 6a/3 > 3^6 o (6^3)2 > (3Vẽ)2 108 > 54 (đúng) Do 7 > 1 nên 7673 > y3^6.