Giải Toán 12: Ôn tập chương IV

  • Ôn tập chương IV trang 1
  • Ôn tập chương IV trang 2
  • Ôn tập chương IV trang 3
  • Ôn tập chương IV trang 4
  • Ôn tập chương IV trang 5
  • Ôn tập chương IV trang 6
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Thế nào là phần thực, phần ảo, môđun của một số phức?
Viết công thức tính môđun của một sô phức theo phần thực và phần ảo của nó.
Giải
Nếu số phức z được viết dưới dạng z = X + yi với X, y G R thì ta gọi:
X là phần thực và y là phần áo cùa số phức z.
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng Oxy thì độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|. Ta có |z| = Va2 + b2 ■
Tìm mốì liên hệ giữa khái niệm môđun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực.
Đáp: Nếu số phức z = a là một số thực (a e R) thì môđun của z bằng với giá trị tuyệt đối của nó tức là '|z| = |aị.
Nêu định nghĩa số phức liên hợp của sô phức z. số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?
Đáp: Cho số phức z = X + yi (x, y & R) thì số phức Z = x-yi được gọi là sô phức liên hợp của z.
Như vậy z = Z khi và chỉ khi z là một số thực, tức là z = X e R.
Sô phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 71 a, b, c)?
Hình 71
Giải
Gọi z = X + yi (x, y e R) là số phức với điểm biểu diễn là M(x; y) trong mặt phẵng phức Oxy.
Hình a) là tập hợp các đểm M với z có phần thực X > 1.
Hình b) là tập hợp các điếm M với z có phần ảoy s [-1; 2].
Hình c) là tập hợp các điếm M với z có phần thực X e [-1; 11 và môđun |z| < 2.
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thóa mãn từng điều kiện:
Phần thực cúa z bằng 1.
Phần ảo cúa z bằng -2.
Phần thực của z thuộc đoạn [-1; 2], phần ảo của z thuộc đoạn [0; 1].
jz| < 2
Giải
Gọi z = X + yi (x, y 6 R) là số phức với điểm biểu diễn là M(x; y) trong mặt phắng phức Oxy.
Tập hợp các điểm M với z có phần thực bằng 1 là một đường thẳng có phương trình X = 1.
Tập hợp các điểm M với z có phần ảo bằng -2 là một đường thẳng có phương trình y = -2.
Tập hợp các điểm M với z có phần thực X e [-1; 2] và phần ảo y e [0; 11 là một hình chữ nhật giới' hạn bởi các đường thẳng X = -1, X = 2, y = 0, y = 1, kể cả các điểm nằm trên các cạnh của hình chữ nhật đó.
Tập hợp các điểm M với z có môđun |z| < 2 là hình tròn tâm o bán kính R = 2.
Tìm các số thực X, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 - x)i
b) 2x + y - 1 = (x + 2y - 5)i
3x = 2y + l J X = 1 y = 2-x Ịy = 1
Giải
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 - x)i «■
Vậy: x = 1 và y = 1
f2x + y -1 = 0 ix = -l
2x + y - 1 = (x + 2v - 5)i L „ r A	1 „ _ 9
[x + 2y - 5 = 0	[y = 3
Vậy: X = -1 và y = 3
Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo của z không vượt quá môđun của nó.
Giải
Cho số phức z = X + yi (x, y e R) thế thì |z| = ựx2 + y2
Ta luôn có:
X2 X < ựx2 + y2, hay X < |z|
y2 y < ựx2 +y2, hay y < |z|
Thực hiện các phép tính sau:
(3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]	b) (4 - 3i) + ịiẬ
+ i
(1 + i)2 - (1 - i)2	d) ỵ - 4 31
2 + i 2 - i
Giải
a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)] = (3 + 2i)(5 - 3i) = 21 + i
,	1 + i ,	(1 + i)(2 - i) _ .	<3 l.ì-23 14.
'	2+i	5	<5 5 )	5	5
(1 + i)2 - (1 - i)2 = 2i - (-2Ĩ) = 4i
+ i 4-3Ỉ (3 + ỈX2-Í) (4-3i)(2 + i) 7-i 11-21	4 1
2 + i 2-i ~	5	5	~ 5 -	5	~ 5 + 51
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5Ĩ	b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz
Giải
(3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i o (3 + 4i)z = 1 + 8i o z =
3 + 4i
_ (1 + 8i)(3 - 4i) 35 + 20Í 7 4,
ậy: z -	25	”	25	" 5 + 51
(4 + 7i)z - (5 - 2i) = 61Z (4 + i)z = 5 - 21 « z =	= (5 ~-2j)(4 -í}
+ i 17
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 3z2 + 7z + 8 = 0	b) z4 - 8 = 0 c) z4 - 1 = 0
Giải
Giải phương trình 3z2 + 7z + 8 = 0.
-7 ± iV47
6
A = -47 = 47i2
Vậy phương trình có hai nghiệm: z12
Giải phương trình z4 - 8 = 0.
Ta có: z4 - 8 = 0 z4 = 8 
z2 = 2^2
z2 = -2 72 = 2>/2i2
Vậy phương trình có bốn nghiệm:
z12 - ±Vs,z34 = ±iVã
Ta có: z4 - 1 = 0
= -1 = i2
Giải phương trình z4 - 1 - 0. z2
z2
Vậy phương trình có bốn nghiệm:
Z1,2 - ±1’ z3,4 -
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Giải
Hai số phức cần tìm là các nghiệm của phương trình
z2 - 3z + 4 = 0
Ta có: A = -7 = 7i2
Vậy hai số thỏa mãn đề bài là Zj 2 = 3
Cho hai số phức Zp z2. Biết rằng Z1 + z2 và zxz2 là hai số thực. Chứng tỏ rằng Zp z2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Giải
Đặt Zị +z2 - a và zxz2 = b, với a, b e R.
Như vậy Z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình:
z2 - az + b = 0
Nhận thấy phương trình trên là phương trình bậc hai với hệ số thực.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Số nào trong các số sau là số thực?
A. (73 + 2i) - (73 - 2i)	B. (2 + 175) + (2 - iTõ)
r-	~ 72 + i
c. (l + iVã)2	D. 7
Số nào trong các số sau là số ảo?
A. (72 + 31)+ (72-3i)	B. (72 + 3i)(72-31)
c.<2 + 2i)=	0	D.|4|
Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
A. I1977 = -1	B.	ĩ2345 = i
c. i2005 = 1	D.	i2006 = -i
Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
A. (l+i)8 = -16	B.	(1 + i)8 =	16i
c. (l + i)8=16	D.	(1 + i)8 =-16i
Biêt rằng nghịch đảo cúa số phức z bằng số phức liên hợp cua nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?
A. z e R	B. |z| = 1
c. z là một số ảo	D. ịz| = -i
Trong c; kết luận sau, kết luận nào là sai?
Môđun	của sô	phức	z	là	một số thực.
Môđun	của sô	phức	z	là	một số phức.
c. Môđun	của số	phức	z	là	một sô thực dương.
D. Môđun	của sô	phức	z	là	một sô thực không âm.
Giải
1. Chọn B
(73 + 21)-(73 -2i) = 4i
(2+ 175) +(2- 175 =4
(1 + 173)2 = -2 + 2731
< 72 + 1 = (72 + i)2 _ 1 + 2721
72 -i -	3	-	3
Chọn c
(V2 + 3i) + (V2 - 3i) = 2V2
(x/2 +3i)(V2- 3i) = 11
(2 + 2i)2 = 8i
k 2 + 3i _ 5 12.
2 - 3i ~ 13 + 13 1
Chọn B
Ta có’ i1977 = i4(494)+1 = i i2345 = i4<586)+l _ J
j2005 _ £4(501)4-1 _ i ị2006 _ ị4(501)+2 _
Chọn c
Ta có: (1 + i)2 = 2i => (1 + i)4 = -4 và (1 + i)8 = 16
Chọn B
—	2. X	y .
Gọi z = X + iy với X, y e R thì z = X - yi và — = —5——7	—- i (z 0
z X + y X + y hoặc y 0)
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:
ix = -7A_7	(1)
X + y
(2)
X + y
Nếu X = 0 thì y * 0. Từ (2) suy ra y2 = 1 hay X2 + y2 = 1.
Nếu y = 0 thì X 0. Từ (1) suy ra X2 = 1 hay X2 + y2 = 1.
Nếu X /Ovày ííO thì từ (1) và (2) cùng đưa đến X2 + y2 = 1.
Như vậy ta luôn có X2 + y2 = 1 |z| = 1.
Chọn D