Giải Toán 12: Bài 5. Phương trình mũ và lôgarit

§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương trình mũ:
Phương trình mũ cơ bản:
ax = ab và ax = c (a > 0, a 1)
Cách giải:
ax = ab X = b
• Nếu c < 0 thì phương trình ax = c vô nghiệm.
• Nếu c > 0 thì: ax = c X = logac
Một số phương trình mũ thường gặp
Đế’ giải các phương trình mũ thường gặp, ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp đưa về cùng một cơ số.
Phương pháp đặt ẩn số phụ.
Phương pháp lấy lôgarit hai vế (lôgarit hóa).
Phương pháp sử dụng tỉnh đơn điệu của hàm số mũ.
Phương trình lôgariỉ
Phương trình lôgarit đơn giản:
logax = logab và logax = c (a > 0, a * 1)
b>0
X = b
Cách giải:
loga X = loga b o
logax = c o X = ac
Một sô phương trình lôgarit thường gặp
Để giải các phương trình lôgarit thường gặp, ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp đưa về cùng một cơ số.
Phương pháp đặt ẩn số phụ.
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit.
B. BÀI TẬP Bài 1
Giải các phương trình mũ:
(0,3)3x“2 =1	b) 7 = 25
2x2-3x+2 =4	d) (0,5)x+7.(0,5)1-2x = 2
Giải
2
(0,3)3x’2 = 1o3x-2 = 0ox = Y
3
I ị I = 25 o 5 ~x = 52 -X = 2 X = -2
2x2-3x+2 = 4 2x2'3x+2 = 22 X2 - 3x + 2 = 2 o X2 - 3x 
(0,5)x+7.(0,5)1_2x = 2 o (0,5)8x = 2 « 2X~8 = 2«x-8 = l«x = 9
Bài 2
Giải các phương trình mũ:
a) 32x_1 + 32x = 108	b) 2X+1 + 2X’1 + 2X = 28
64x - 8X - 56 = 0	d) 3.4X - 2.6X = 9X
Giải
32*-1 + 32x = 108 o + 3?x = 108 « 32x = 34 «2x = 4 » X = 2
3
9*
2X+1 + 2X“‘ + 2X = 28 o 2.2X + - + 2X = 28 a 2X = 23 a X = 3
2
64x - 8X - 56 = 0 o (8X)2 - 8X - 56 = 0	(*)
Đặt t = 8X (t > 0), ta được phương trình: t2 - t - 56 = 0
Phương trình trên có hai nghiệm t-L = 8, t2 = -7 (loại nghiêm t2 = -7). Như vậy:
(*) « 8X = 8 X = 1
Vậy phương trình có một nghiệm X = 1.
3.4X - 2.6X = 9X o 3.(2X)2 - 2.2X.3X = (3X)2
Ỹ3ỴXV _ CsY
	„	+ 2.R	-3 = 0	(*)
MJ I2J
x
Đặt t = -^ (t > 0), ta được phương trình: t2 + 2t - 3 = 0
Phương trình trên có hai nghiệm tj = 1, t2 = -3 (loại nghiệm t2 = -3) <3 y
Như vậy:	( } ^ 2 =lox = 0
Vậy phương trình có một nghiệm X = 0.
Bàỉ 3
Giải các phương trình lôgarit:
log3(5x + 3) = log3(7x + 5)
log(x - 1) - log(2x - 11) = log2
log2(x - 5) + log2(x + 2) - 3
log(x2 - 6x + 7) = log(x - 3)
Giải
5x + 3 > 0
a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5) 
7x + 5> 0
5x + 3 = 7x + 5
3
X > - —
5
5
X > - —
7
xe0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Xét phương trình log(x - 1) - log(2x - 11) - log2 (*)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm X = 7.
Xét phương trình log2(x - 5) + log2(x + 2) = 3 (*)
í X - 5 > 0	J X > 5
Điều kiện: |x + 2>0O1x>-2OX>
Với điều kiện đó, phương trình (*) tương đương với phương trình: log2(x - 5)(x + 2) = 3 o (x - 5)(x + 2) = 23 o X2 - 3x - 18 = 0 Giải được X - 6 hoặc X = -3 (loại X = -3).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm X = 6.
Xét phương trình log(x2 - 6x + 7) - log(x - 3) (*)
Ta có:
(*)
x-3>0
X2 - 6x + 7 = X - 3
X2 -7x + 10 = 0
Ta có: (*) 
x2 + x- 5>0vàx>
log(x2 + X - 5) = 0
(1)
(2)
-1 + 721
• Từ (2): x2 + x- 5 = lx2 + x- 6 = 0
Vậy phương trình có một nghiệm X = 2.
X = 2
X = -3 (loại)
Xét phương trình log(x2 - 4x - 1) = log8x - log4x
(*)
Điều kiện:
X2 - 4x -1 > 0 x>0
Với điều kiện đó, ta có:
X 2 + ựõ
x>0
(*) log(x2 - 4x - 1) = 21og2 x2-4x-l=4x2-4x-5 = 0
X = -1 (loại)
X = 5
Vậy phương trình có một nghiệm X = 5.
Xét phương trình log + 4 log4x + log8x = 13 (*) ĩ	13
(*) 2 log2x + 2 log2x + log2x = 13 ^- log2x = 13
3
 log2x = 3 o X - 8
Vậy phương trình có một nghiệm X = 8.