Giải Toán 12: Bài 2. Tích phân
§2. TÍCH PHÀN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Diện tích của hình thang cong Cho hàm số y = fix) liên tục không âm trên đoạn [a; b]. Ta gọi hình phẳĩig giới hạn bởi các đường: y = fix), y = 0, X = a, x = b là một hình thang cong. Nếu gọi Fix) là một nguyên hàm của fix) thì diện tích s của hình thang cong định bởi công thức: s = F(b) - F(a) II. Định nghĩa tích phân Định nghĩa 1 Cho hàm số fix) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số fix) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số fix). b Kí hiệu: I f(x)dx Hai số a và b gọi là hai cận tích phân: a gọi là cận dưới và b gọi là cận trên. fix) gọi là hàm số dưới dấu tích phân, flx)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Ta có dùng kí hiệu sau: b J f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a) 2. Định nghĩa 2 Công thức trên được gọi là công thức Niu-tơn - Lai-bơ-nít. a a) Nếu hàm số f(x) xác định tại a ta định nghĩa Jf(x)dx = 0. Nếu fix) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì J f(x)dx là a diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, X = a, X - b. Các tính châ't của tích phân Cho fix) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Ta có: b b b J [f(x) ± g(x)]dx = [ f(x)dx ± j g(x)dx a a a b b Jkf(x)dx = kjf(x)dx (với k là một hằng số) a a b Nếu f(x) - 0’ Vx e [a; b] thì I f(x)dx > 0 b c b a J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx với c e (a; b) a a c b b Nếu f(x) < g(x) thì Jf(x)dx < Jg(x)dx a a Một Sô' phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến sô Nếu: Hàm số X = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; p]. Hàm số hợp f(u(t)) được xác định trên đoạn [a; p]. u(a) = a, u(p) = b b P thì ta có: Jf(x)dx = Jf[u(t)Ịu’(t)dt Phương pháp tích phân từng phần Cho u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng I và a, b là hai số thuộc I. Ta có công thức sau: b - J v(x)u '(x)dx a b J u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) a b Hay J udv = uv a B. BÀI TẬP Bài 1 Tính các tích phân sau: a) c) e) 2 1 [ — — dx Ị x(x + 1) 2 J (x + 1)2 7Ĩ r . í" V b) sin| — - X |dx 0 2 d) Jx(x + l)2dx 0 7T 2 f) I sin3xcos5xdx Giải 2 a) x)3dx 71 — - X 4 , J n dx = cos — - X u 1 2 1 2 7t 2 =0 |V(1-X)S. ỉ> 1 2 = 7^77 ioVĨ 2 •Ị xíx +1) 2 _1_ x + 1 = Inx - In |x + 1| 1 = ln2 2 ũ r 1 - 3x Ị(x + 1)2 2 0 2 1 2 - 3 In |x + 1| 1 = -Ệ - 3 ln2 2 dx ■Ị X +1 ■ 2 4 34 3 2 f) J sin3x cosõxdx = 7Ĩ ”2 Bài 2 Tính các tích phân 2 If 1 4 I (sin8x - sin2x)dx = 4 24 2 2 1I cos8x A 8 cos2x 2 7t 2 =0 71 ~2 sau: b) 0 T^dx J ex 0 e d) 2 J sin2xdx 0 71 J sin2xcos2xdx 0 Giải 2 (x-1)2 2 1 . (x-1)2 2 b) ísin2xdx -1 [(1 - cos2x)dx = tix - Slr^x ì 2 = í 2J. 2 4 ln2 „2x+l , 1 ln_2 c) | il±ldx = J(e- 0 e 0 + e‘x)dx = (ex+1 ln2 0 d) I sin2xcos2xdx = 2J cos3xsinxdx = -2 J cos3xd(cosx) = - c°s x 000 2 7t = 0 0 Bài 3 Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: X f X2 a) I y dx (đặt u = X + 1) ° (1 + x)2 b) c) I x/1 - x2dx (đặt X = sint) 0 rex(l + x) , , ■ —- — dx (đặt u = 1 + xe ) d) 0 a 2 I [ . dx(a > 0) (đặt X = a sint) Giải a) Đặt u = x + l=í>du = dx. Khi X = 0 thì u = 1 và khi X 3 -2 fCu-l)* r X' = 3 thì u = 4. u2 - 2u + 1 . ị 0 (1 + x)2 3 u2 3 u2 I ^u2 3 - 4u2 - 2u 2 b) Đặt X = sint, 71 _ 7t 2’2 1 1 3 \ u2 - 2u 2 + u 2 du , suy ra dx = costdt. Khi X = 0 thì t = 0 và khi X = 1 thì t = —. 1 2 J Vĩ - X2 dx = J ựl - sin2x. 0 0 costdt = ỉv cos2t.costdt = J cos2tdt = í (1 + cos2t)dt = A 2 - 2 sin2t t + —-— 2 c) Đặt u = 1 + xex =í> du = (x + l)exdx Khi X = 0 thì u = 1 và khi X = 1 thì u = 1 + e. r ex(l + x)^ _ 17 du j 1 + xex = ln|u| 1 + e 7 = ln(l + e) d) Đặt X = a sint, t e K n 2’2 , suy ra dx = a cost dt a K 71 Khi X = 0 thì t = 0 và khi x = — thì t = . a 7t " V n ệ [ r 1 oVa2-x2 2 a costdt Tỉ Sử đụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính: 9 e í(x + l)sinxdx b) |x“lnxdx 0 Ị í ln(l + x)dx d) I (x“ - 2x - l)e dx 0 0 Giải Đặt u = X + 1, dv = sinxdx. Ta được du = dx, V = -cosx 71 ĩ — 2 = 1 + sinx 71 2=2 0 b) Đặt u = Inx, dv = x2dx. Ta được e , e ị x3 í X2 Inxdx = — Inx J 3 1 e3 e3 - 1 2e3 + 1 du = — dx, V = — X = £_x^ = 3 9 —- dx, V = X 3 9 9 Đặt u = ln(x + 1), dv = dx. Ta được du = 1 I 1 = ln2 - (x-ln|x +1|) = 21n2-l 0 Đặt u = X2 - 2x - 1, dv = e“xdx. Ta được du = (2x - 2)dx, V = -e x i 1 1 1 1 1 J (2x - 2)e“xdx = -(2x - 2)e’x + 2 f e’xdx = 2 - 2e”x 0 0 0 0 Đặt s = 2x -'2, dt = e'xdx. Ta được ds = 2dx, t = -e~x 1 _ _2 0~ e J (x2 - 2x - l)e Xdx = -1. 0 Tính các tích phân sau: 1 13 - a)j(l + 3x)“dx b)i^J-—7dx ° 0 x ~ 1 Giải c ln(l + x) c)Ị^ dx 1 3 19 - 1 £9 aj(l + 3x)>dx = i.|(l + 3x)^ = || X3 -1 -1 ốx 0 v "• / 1 -1,3 c) Đặt u = ln(l + x), dv = —7 dx. X _ 1 , „ 1 Ta được du = -—-dx,v = -- 1 + X X rln(l + x) 1 , 2 ,,— dx = . ln(l + x) J X2 X 1 í —-dx = In 2 - ị In 3 + ■Jxd + x) 2 = ln2 - 4 ln3 + (Inx - ln(l + x) = ln2 - 4 ln3 + (ln2 - ln3) - (- ln2) i 2 2 = 31n2-^ln3 = 31n^ 2 V3 Bàỉ 6 1 Tính Jx(l - x) ’dx bằng hai phương pháp: 0 Đổi biển số u = 1 - X. Tích phân từng phần. Giải a) Đặt u = l- x=>du = -dx —V 7J0 Khi X - 0 thì u - 1 và khi X - 1 thì u = 0. 0 1 í x(l - x)5dx = -i(l - u)u5du - J (u'r> 0 1 Ố Đặt u = X, dv = (1 - x)5dx Ta được du = dx, (1 - x)6 6 1 42 ix(l-x)5dx = -x.(1- x) ■ 0 6 + 4i(l-x)6dx = —4(l-x)7 6 J 42