Giải Toán 12: Ôn tập chương III

ỎN TẬP CHƯƠNG III
Câu 1 và 2, độc giả tự thực hiện.
a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một
khoảng.
b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.
a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn.
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = (x - 1 )(1 - 2x)(l - 3x)
f(x)' ĨT?
b) f(x) = sin4xcos22x
c)
d) fix) = (ex - l)3
a)
b)
c)
d)
Giải
J f(x)dx =1 (6x3 - llx2 + 6x - Ddx = X4 - X3 + 3x2 - X + c
Í f(x)dx = 4 í sin4xdx + — [ sin8xdx = cos8x - — cos4x + c
J 2 •>	4 J	32	8
if-1-dx
2-1 X —1
|f(x)dx f(1_x)(1 + x) -- 2JX + 1 jln|x-l| + c
= |ln|
2 1
x + l|
í f(x)dx = ị ln
x + 1
J	2
x-1
J f (x)dx = J(e3x - 3e2x + 3ex - l)dx = I e3x -1 e2x + 3ex - X + c
4. Tính:
a) J (2 - x) sinxdx
' f e3x + 1 ,
c) J ,
e) J,/r~ ■ ./^dx
J VI + X + \/x
(x + 1)2
	-ị=—dx
VX
1
-jdx
(sinx + cosx)
1
dx
(1 + x)(2 - x)
Giải
a) Đặt u = 2 - X, dv = sinxdx, ta được du = -dx, V = -cosx
[ (2 - x) sinxdx = (x - 2) cosx - í cosxdx = (x - 2) cosx - sinx + c
b) Đặt t = Vx X = t2. Suy ra dx = 2tdt.
J (x^_1)2 dx = J (t2 t1)2,2tdt = 21 (tf—====■ dx = -,2tdt = 2f(t2-l)dt = 2 ^--t
 ỈVxTĨ	J t	J	13	J
 + 2t2 + Ddt = ^ + ^- + 2t + C i(x tJ- dx = I x2 yGZ + ị Xyfe + 2Vr + c
J yR 5	3
fe * +,-dx= f(e2x-ex +l)dx = ịe2x-ex + X + C
J ex +1 J	2
d)
7t
e)
(sinx + cosx)2
COS2
71
X -
4
dx = — tan I X - I + c 2
1
X
f) i —	 dx = 4 [ 1 ■■ dx - ỉ i -1- dx = In lx +11 - i In lx - 2| + c
1 J(l + x)(2-x) 3-Jx + l 3J x-2	3 1	1 3 1	1
Tính:
3
a) j-/A=dx
0 VI + X
2
Jx2e3xdx
0
71
J yjl + sin2xdx
0
Giải
Khi X = 0 thì t = 1, khi X = 3 thì t = 2.
a) Đặt t = ựx + 1 t2 = x + lx = t2-l. Suy ra dx = 2tdt
b)
64 . f— r 1 + Vx J
64
1
c) Đặt u = X2, dv = e3xdx, ta được du = 2xdx, V =
64 _ 1839
1 " 14
„ e3x
3
2	■]	2	9 •	A	_	9 i
f x2e3xdx = ị X2e3x -1 xe3xdx = I e6 -1 f xe3xdx Jo	3	0	3Ỉ	3 3J
Tính Jxe3xdx
0	1 „3x
Đặt s = X, dt = e3xdx, ta được ds = dx, t = — e
o
2 2 . 0	3
1 3x
„ xe
3
0	°0
J	27
6 J; 3x
— e — — e
9
Suy ra
0
71	7Ĩ 	 	
d) J ựl + sin2xdx = J ựsin2x + COS2X + 2 sinx cosxdx = I y/tsinx + cosx)2 dx
0	0	0
= J |sinx + cosx| dx
0
Xét phương trình sinx + cosx = 0.
_ , . . 71 Ta CÓ sinx + cosx = 0 o sinx = -cosx o tanx = -1 X = - — + KK ‘ '77 /7	4
X e LO; 7tJ => X = —
4
71
3n
4
7T
Do đó 1-Ự1 + sin2xdx -
J (sinx + cosx)dx
+
J (sinx + cosx)dx
0
0
3k
4
3tt
71
(-C0SX + sinx)
4
+
(-C0SX + sinx)
3n
0
T
= (V2 + 1) + (V2 - 1) = 2>/2
6. Tính:
71
2
a) I cos 2x sin2 xdx
0
r (x + l)(x + 2)(x + 3) , '	dx
b)
-2“x|dx
X2
d)
I „	dx
J X2 - 2x - 3
7Ĩ
2
e) J(sinx + cosx)2dx
0
Giải
f) J(x + sinx)2dx
0 ■
71	TT	77	77
2	I 2 I	2	If
a)	I cos2xsin2xdx =	2 J cos2x(l - cos2x)dx - 2	f cos2xdx -	I (1 +	cos4x)dx
= — sin2x
71
2
sin4x
71
2 = _7t
0
0
Trước hết ta thấy phương trình 2X - 2 x = 0 có một nghiệm X = 0.
1	ơ	I
c)
0
+
—ỉ—(2X +2~x)
1
-1
ln2
0
11	6
1 _ 1
2 ln2 2 ln2 ln2
X3 + 6x2 + llx + 6 ,
dx =
X2
+ 6x + 11 Inx - —
2	X
21
= 4^ + 111112
2
d)
J X2 - 2x - 3
dx = yf
J (x + l)(x - 3)	4 J
e)
g)
j.
4
2_ 1
0 4
2 = -|ln3
0	2
2	2
I (sinx + cosx)2dx = J (1 + sin2x)dx =
0	0
cos2x
X - ———
•30
Đặt u = X, dv - sinxdx, ta được du = dx, V = -cosx.
71 ỉ
J X sinxdx = -X cosx
+ cosxdx = 71 + sinx
0
0 Jo
_ = 71
0
I sin2xdx = i J(1 - cos2x)dx = 0	2 0	2
sin2x ] 71
X	—
71
0 2
Vậy í(x + sinx)2dx =	+ 2ĩt +	~
J	3	2	3	2
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
f dx
l.Tính Jụ=
kết quả là:
A.
c
71 - X
c. -271^7 + 0
r ln2
2. Tính J 2 ự=dx , kết quả sai là: A. 2^+1 + c
B. cTT^T
B. 2(2^ - 1) + c
D. 2^ + c
3. Tích phân J COS2X sinxdx bằng:
°	2
3
ĨT	TT
3
c.|	D.o
c. 2(2^ +D + C
2	2
4. Cho hai tích phân 1 sin2xdx và J cos 7t	It	Ố	0
2xdx , hãy chỉ ra khẳng định đúng:
2	2
A. 1 sin2xdx > J cos2xdx
0	0
71	7t
2	2
B. J sin2xdx < J cos2xdx
0	0
2	2
c. J sin2xdx = J cos2xdx
0	0
5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) y = X3 và y = X5 bằng:
D. Không so sánh được, các đường cong
A.0	B. -4
b) y = X + sinx và y - X (0 < X < 2ti
A. -4	B.4
c- Ể	D. 2
6
:) bằng:
c. 0	D. 1
Cho hình phảng giới hạn bởi các đường y = 7x và y = X quay xung quanh trục Ox. Thế tích của khôi tròn xoay tạo thành bằng:
D.
A. 0	B. -71	c. 71
Giải
1. Chọn c
í -i-fo = -271 - X + c
J 71-X
Chọn A
2^ dx = 2.2^ + c = 2^+1 + c
VX
Chọn B
í COS2X sinxdx = - í cos2xd(cosx) = - c°s x = 4
Jo	i	3 0 3
Chọn c
Đặt u = - X
Khi X = 0 thì
7Ĩ
u = — ,
2
khi X = ” thì u = 0 2
0
= - [ sin2
2	2
cos2udu = I cos2xdx
5. a) Chọn c
Gọi fix) = X3, g(x) = X5
fix) -- g(x) = 0 x3 - X5 = 0 Cí> x3(l - X2) = 0
X3
-1
ỈX +J(x3-x5)dx
0
0 = 6
X = 0
X = ±1
b) Chọn B
Gọi f(x) = X + sinx, g(x) =
fix) - g(x) = 0 sinx - 0 X - kn
X 6 [0; 2n] => X = 0 hoặc X - 71 hoặc X = 2n.
2n	ị '	2n	7t
s = I ịsinxỊ dx = I sinxdx - I sinxdx = -cosx
0	0	;	0
+ cosx
2tt
TC
Chọn D
Gọi f(x) =	, g(x) = X.
fix) - g(x) = 0
j x2dx = n
0
X = 1 xl_xf 2 3 .
71