Giải Toán 12: Bài 1. Nguyên hàm

CHƯƠNG 111. NGUYÊN HÀM -
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu F’(x) = ffx) với mọi X e (a; b).
Thay khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b] thì ta có định nghĩa sau đây: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số fix) trên đoạn [a; b] nếu:
F(x) là nguyên hàm của fix) trên khoảng (a; b).
Tại a và b, F(x) lần lượt có đạo hàm bên phải và bên trái sao cho
F'(a+) = f(a) và F’(b-) = f(b).
Định lí
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số fix) trên khoảng (a; b) thì:
Với mọi hằng số c, F(x) + c cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b).
Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì tồn tại một hằng số c sao cho G(x) = F(x) + c.
Người ta dùng kí hiệu Jf(x)dx để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của fix).
Ta viết: J f(x)dx = F(x) + c
Trong đó F(x) là một nguyên hàm của fix) và c là một hằng số bất kì.
Các lính châì của nguyên hàm
Với f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên một khoảng I:
Q f(x)dxj’ = f(x)
J [f(x) + g(x)]dx = j f(x)dx + J g(x)dx
J kf(x)dx = kJ f(x)dx	(k * 0)
Sự ton ỉại nguyên hàm
Định lí
Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hay đoạn [a; b]) đều có nguyên hàm trên khoảng (hay đoạn) đó.
Nguyên hàm của một sô' hàm
J Odx = c, J dx - X + c
í — dx = ln|x| + c (x 0)
J exdx = ex + c
J sinxdx = - cosx + c
i \ í —dx = tanx + c
7 J cos X
Sô' thường gặp
[ x“dx = —- + c (a -1)
f-ydx = -—+ c (x * 0)
J X2	X
faxdx = -^—+ c (0<a?il) J Ina
J cosxdx = sinx + c
í -.—Ị,— dx = -cotx 4- c
J sin X
Một sô'phương pháp tìm nguyễn hàm
Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và F(x) là một nguyên hàm của nó. Nếu X = u(t) là hàm số có đạo hàm liên tục và có tập giá trị T c (a; b) thì ta có:
J f[u(t)].u ’(t)dt = F[u(t)] + c
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Cho u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay một đoạn nào đó, ta có:
J u(x)v '(x)dx = u(x)v(x) - J u '(x)v(x)dx
hay Iudv = uv - Ivdu
B. BÀI TẬP
Bài 1
Trong các cặp hàm sô' dưới đây, hàm sô' nào là nguyên hàm của hàm sô' còn lại?
e_x và -e_x	b) sin2x và sin2x
X 2 ì2 „x	4Lx
1 - — e và i-— e
V X J	V X J
Giải
(e'x)’ = -e~x. Hàm sô e_x là nguyên hàm của hàm sô -e x (-e-x)’ = e“x. Hàm số -e_x cũng là nguyên hàm của hàm số e x.
(sin2x)’ = 2sinx.cosx = sin2x
Vậy hàm số sin2x là nguyên hàm của hàm số sin2x.
„ . _ _ (4 _ 4> „ 7 2Ỷ
Gọi f(x)= 1-- ex^f’(x) = 4.ex+ 1-- ex= 4 + 1-- ex= 1-- ex
V xj	XT V	x) V xj
/■	4^ X1	,	, c 2Ỹ.
Vậy 1 - — ex là nguyên hàm của hàm số 1 - — ex.
X)	< xj
Bài 2
Tìm nguyên hàm của các hàm
. X + Vx + 1
a) f(x) =	77=	
Ẳ/x
c) f(x) =	1 2
' sin X. cos X
e) fíx) = tan2x
h) f(x) = —————— '	(1 + x)(l - 2x)
Giải
2	11	3
a) J f(x)dx = I (x3 + X6 + X 3 )dx = 2
Vậy í f(x)dx = , 1 .	+ e x + c
■y J	ln2-l ex
sin22x
2X -1
f(x) = ^—i e
f(x) = sin5x.cos3x
f(x) = e3_2x
5	7 Q 2
.3 + 2 x6 + £x3 + c
7	2
-1 e_xdx
1 2X
^4—--^ị + C2
In 2 - 1 ex 2
2X 1 ,
ex(ln2-l) ex
+ c
J f(x)dx = ỉ J (sin8x + sin2x)dx =	+ c°s^xi + c =
2	2 \ 8	2 J
= - — I — cos8x + cos2x I + c
4<4	)
I f(x)dx = J ((1 + tan2x) - l)dx = tanx - X + c
J f (x)dx = -1J e3_2xd(3 - 2x) = -1 e3'2x + c
, ' ' .	1	A B
Đặt ,	,—— - ——- + -——
(1 + x)(l - 2x)	1 + X 1 - 2x
Suy ra A(1 - 2x) + B(x + 1) = 1 (-2A + B)x + A + B = 1
Ta có hệ phương trình:
Ta được: (1 + x)(1 _ 2x) ~ 3 u + X + 1 - 2xJ
Do đó Jf(x)dx = ^Jj-^— dx + 2j—= -i(ln|l + x|-ln|l-2x|) + c
Bài 3
Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
|(1 - x)9dx (đặt u = 1 - x)
3
j x(l + x2)2dx (đặt u = 1 + x2)
J COS3X sinxdx (đặt t - cosx)
í——■“—— (đặt u = ex + 1)
J ex + e-x + 2
Giải
a) Đặt u = l- x=>du = -dx
f(l-x)9dx = -fu9du = -^- + C = -^^- + C
b) Đặt u = 1 + X2 => du = 2xdx
J x(l + X2 )2 dx = i J u2du
10	10
5
1112	1	„ -
= ị.^ + C = ị(l + x2)2 +c 2 5	5
Đặt u = cosx => du = -sinxdx
I cos3xsinxdx = -iu3du =	- + c = - —COS4X + c
J	J	4	4
Í “7	~z -dx = Í “77—I	—7 dx = [ e „ dx
7 J ex + e’x + 2	J e1 	4	2
Đặt u = X2 + 2x - 1 và dv = exdx
Ta được du = 2(x + l)dx và V = ex
Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
J (x2 + 2x - l)exdx = ex(x2 + 2x - 1) - 2|(x + l)exdx
Đặt s = X + 1 và dt = exdx
Ta được ds = dx và t = ex
í (x + l)exdx = (x + l)ex - J exdx = (x + l)ex - ex + Cj = xex + c\ Vậy J (x2 + 2x - l)exdx = ex(x2 + 2x - 1) - 2xex + c = (x2 - l)ex + c
Đặt u = X và dv = sin(2x + l)dx Ta được du = dx và V = - ỉ cos(2x + 1)
 + 1 + 2ex	J (ex + I)2
Đặt u = ex + 1 => du = exdx
f-	—dx= i-y du =-—+ c =-
J ex + e"x + 2 J u2 u ex +1
Bài 4
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a) IX ln(l + x)dx	b) J (x2 + 2x - l)exdx
J X sin(2x + l)dx	d) J (1 - x) cosxdx
Giải
a) Đặt u = ln(x + 1) và dv = xdx
J_	1	, V _ X2
Ta được du = —— dx và V =
X +1	2
Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
2	-|	2
f xln(x + l)dx = ln(x +1) - — í dx
J	2	2-*x + l
X2	1	1 A X2	1 (X2
-x + ln(x + l) +c
=-7-ln(x +1) - 4 [ X-1 + —ỉ- dx = ^-ln(x + l)-4 ^7
2	2J< X + 1J 2	2^2
Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
I X sin(2x + l)dx = - Ặ X cos(2x + 1) + 4 [ cos(2x + l)dx = J	2	2J
= - cos(2x + 1) + 4 sin(2x + 1) + c 2	4
Đặt u = 1 - X và dv = cosxdx
Ta được du = -dx và V = sinx
Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
í (1 - x) cosxdx = (1 - x) sinx + I sinxdx = (1 - x) sinx - cosx + c