Giải Toán 12: Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM số
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập 3).
Sô' M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên 3) nếu:
f(x) < M với mọi X e 3).
Tồn tại một số x0 e 3) sao cho flx0) = M.
Kí hiệu: M = maxf(x)
X6ẩ)
Sô' m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên 3) nếu:
f(x) > m với mọi X e 3)
Tồn tại một sô' X1 e 3) sao cho f(x1) = m. Kí hiệu: m = minf(x)
Cách tìm giá trị lớn nhát và giá trị nhỏ nhát của hàm sô'
a). Trường hợp 1: fíx) là hàm sô' liên tục trên khoảng (a; b).
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a; b), rồi dựa vào bảng biến thiên mà kết luận.
Nếu trên khoảng (a; b) hàm số có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 thì f(x0) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm sô' đã cho trên khoảng (a; b).
Trường hợp 2: f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b,|.
Ta có thể dùng trường hợp 1 để giải bài toán này, tuy nhiên ta có thể giải theo cách sau:
Tìm các điểm Xp x2,..., xn thuộc khoảng (a; b) mà đạo hàm fix) bằng 0 hoặc không xác định.
Tính các giá trị f(a), flx1), f(x2),..., ffxn), f(b).
Kết luận: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên, ta được:
M = maxf(x) và m = minf(x)
[a;b]	[a;b]
B. BÀI TẬP
Bài 1
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = X3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
y = X4 - 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5],
2	X
y = 7—— trên các đoạn [2; 4] và [—3; -2]
1 - X
y = 75 -4x trên đoạn [-1; 1]
Giải
Gọi y = fix) = X3 - 3x2 - 9x + 35
Ta có: f(x) = 3x2 - 6x - 9 = 3(x2 - 2x - 3)
f(x) = 0 X2 - 2x - 3 - 0 o (x = -1 hoặc X = 3)
Trên đoạn [-4; 4]:
Xét các giá trị: f(-l) = 40, f(3) = 8, f(-4) = -41, ÍI4) = 15
Suy ra: max y = f(-1) = 40 và min y = fI-4) = -41
xg[-4;4]	xg[-4;4J
Trên đoạn [0; 5]:
Xét các giá trị: fll) = 24, f(3) = 8, fI5) - 40
Suy ra: maxy = f(5) = 40 và min y = f(3) = 8
xe[0;5]	xg[0;5]
Gọi y = fix) = X4 - 3x2 + 2
Ta có: f(x) = 4x3 - 6x = x(2x2 - 3)
f(x) = 0 x(2x2 - 3) = 0 (x = 0 hoặc X = “ hoặc X =
Trên đoạn [0; 3]:
Xét f
/6
2
Ậ, f(0) = 2, f(3) = 56
4
Suy ra maxy = f(3) = 56 và min y = f xe[0;3]	xe[0;3]
* Trên đoạn [2; 5]:
Xét f(2) = 6, f(5) = 552.
Suy ra max y = f(5) = 552 và min y = f(2) = 6. xe[2;51	xe[2;5]
Gọi y = f(x) = f.
1 - X
Đạo hàm y' = -—■'■—7 > 0, Vx * 1.
(x-1)2
Trên đoạn [2; 4]: hàm số đồng biến, suy ra:
2
max y = f(4) = và min y = f(2) = 0 xe[2;41	3	xe[2;2)
Trên đoạn [-3; -2]: hàm số đồng biến, suy ra:
max y = f(-2) = — và min y = f(-3) = —
xel-3;-2]	3	xe[-3;-21	4
Gọi y = f(x) = ựõ - 4x (x < -ậ).
4
,	-2	5	r ,
Đạo hàm y - ựg < U’ x < 4 • Hàm sô nghịch biến trên [-1; 1],
Suy ra max y = f(-l) = 3 và min y = f(l) = 1.
xe[-1;1J	xe[-l;lj
Bài 2
Trong sô các hình chữ nhật cùng có chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Giải
Gọi X (cm) là độ dài một cạnh của hình chữ nhật. Điều kiện: 0 < X < 8 Suy ra độ dài cạnh kia là 8 - X.
Diện tích hình chữ nhật tính theo X là: s = x(8 - x) - 8x - X2
Ta có:	S’ = 8 - 2x, S’ = 0 o 8 - 2x = 0 o X = 4
S” = -2 s đạt cực đại tại điểm X = 4.
Suy ra maxS = 16 (cm2) khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh 4cm.
Bài 3
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Giải
Gọi X (cm) là độ dài một cạnh của hình chữ nhật. Điều kiện: X > 0
48
Suy ra độ dài cạnh kia là —■
Gọi P(x) là chu vi hình chữ nhật, ta được:
r 48
P(x) = 2 X + —
Ta có:
V 48
P’(x) = 2 1-5 ( X
2(x2 -48)
X = 4ự3
X = -4>/3 (loại)
P’(x)
P(x)
CT
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy P(x) đạt cực tiểu duy nhất tại điểm X = 4\/3, khi đó hình chữ nhật là hình vuông, cạnh 4\/3cm.
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hình vuông cạnh 4\/3cm có chu vi nhỏ nhất là minP(x) = 16V3cm.
Bài 4
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
b) y = 4x3 - 3x4
a) Gọi y = f(x) =
7	•	v 7 -I ,	2 *
1 + X
Tập xác định: 3) = K.
Đạo hàm: f '(x) - ——--J77
Bảng biến thiên:
(1 + x2)2 ’
Giải
-00
4
b) Gọi y = f(x) = x + —, x e (0; +oo).
X
0
2
X = 2
X --2 (loại)
y’
Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:
Hàm số có max fix) = f(0) = 4. Hàm số không tồn tại gi;
Gọi y = f(x) = 4x3 - 3x4.
Tập xác định: 3) - R
Đạo hàm: y’ = 12x2 - 12x3 = 12x2(l - x)
y’ = 0 x2(l - x) = 0 (x = 0 hoặc X = 1)
Bảng biến thiên:
CĐ
Vậy maxf(x) = f(l) = 1. Hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
Bài 5
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
4
y = X + — (x > 0)
Giải
Gọi y = f(x) = |x|.
Tập xác định: 3) = R
Ta luôn có: fix) - |x| >0, Vx e R và f(0) = 0 Vậy: minf(x) = f(0) = 0
Vậy minf(x) = f(2) = 4.