Giải Toán 12: Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM số
§1. sự ĐỔNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM số
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định lí: (Điều kiện đủ)
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b).
Nếu f(x) > 0 với mọi X 6 (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f(x) < 0 với mọi X e (a; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
Định lí trên có thể mở rộng như sau:
Nếu f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) với mọi X 6 (a; b) và f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b).
B. BÀI TẬP
Bài 1
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
y = 4 + 3x - X2	b) y = — X3 + 3x2 - 7x - 2
y = X4 - 2x2 + 3	d) y = -X3 + X2 - 5
Giải
y = 4 + 3x - X2
Tập xác định: S) = R
. _	,	' . „ ,	.3
Đạo hàm y = -2x + 3, y=ox = —
Zu
X
-CO
-3
2
+CO
y’
+
0 *
-
y
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng I-°0’2 I và nshịch biến trên khoảng I 2 ’+co ) •
y = ịx3 +3x2 -7x-2
3
Tập xác định: 2) = R
Đạo hàm y’ = X2 + 6x - 7, y’ = 0 X = 1 hoặc X = -7
X
-co	-7	1	+CO
y’
+	0	- 0	+
y
Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng (-00; -7), (1; + oo) và nghịch biến trên khoảng (-7; 1).
y = X4 - 2x2 + 3
Tập xác định: 3) = R
Đạo hàm y’ = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)
y’ = 0 X - ±1 hoặc X = 0
X
-co	-1	0	1	+00
y’
- 0 + 0 - 0 +
y
Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng (-1; 0), (1; +oo) và nghịch biến trên hai khoảng (-00; -1), (0; 1).
y = -X3 + X2 - 5
Tập xác định: S) = R
Đạo hàm y’ = -3x2 + 2x = x(-3x + 2)
, -	„ ,	2
y = 0 X = 0 hoặc X = -9
3
X
n	2
-co	0	 +co
3
y’
- 0	+	0	-
y
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng I 0; 3 I và nghịch biến trên hai <2.
khoảng (- co ; 0), I 3 ’ +°°
Bài 2
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 3x +1
a) y= 7
1 - X
„ x2 " 2x b) y =
c) y =
-x-20
1-x
2x
'1,y = x»-9
Giải
_ 3x + l
y = ^—
Tập xác định: 3) = R \ (1Ị
4
Đạo hàm y =	“2" > 0, Vx Ti 1
■	(1 - x)
khoảng (-00; 1), (1; +00) và
Suy ra hàm số đồng biến trên hai không có khoảng nghịch biến.
y =^J——
1 - X
Tập xác định: 3) = R \ (lí
Đạo hàm y -	7x2	< 0, Vx TÍ 1 _
•	(1 - x)
Suy ra hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-00; 1), (1; +00) và không có khoảng đồng biến.
Điều kiện X2 -
-x-20
x-20>0x 5
Đạo hàm y ’ -
(x 5), y’ cùng dấu với 2x - 1.
2x -1
2a/x2 - X - 20
y = V
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-00; -4) và đồng biến trên khoảng (5; +°o).
Tập xác định: 3) = R \ {-3; 3}
Đạo hàm y' = --i,x +9) <0, Vx 6 S) .
(x - 9)
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-co; -3), (-3; 3), (3; 4-00).
Bàỉ 3
Chứng minh rằng hàm số y = x đồng biến trên khoảng (-1; 1), X + 1
nghịch biến trên các khoảng (-00; -1) và (1; 4-00).
Giải
Tập xác định: S) = K
-X2 +1
Đạo hàm y' = *	, y’ = 0 o -X2 4-l = 0x = ±l
(x 4- 1)-
X -00	-1	1	4-00
y’ - 0	4-0-
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên hai khoảng (-00;-1), (1;+00 ).
Bài 4
Chứng minh rằng hàm số y = V2x - X2 đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Giải
Điều kiện 2x - X2 > 0 o 0 < X < 2
1 — X
Đạo hàm y' = ,	(0 < X < 2).
v2x - X2
x 0	1	2
y’	4-0
y’ = 0 X = 1
Vậy hàm số’ đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Bài 5
Chứng minh các bất đẵng thức sau:
a) tanx > X 0
71
2
x' í
tanx > X + -7- 0 3 l
Giải
Chứng minh tanx > X, với mọi xe I b; —
Viết bất đẵng thức dưới dạng: tanx - X > 0
Xét hàm số: f(x) = tanx -
Ta có: f(x) = 1 + tan2x - 1 = tan2x >0, Vx e [0;^
<	Cn-
Suy ra hàm sô đồng biên trên LU’^ I •
Do đó: Vx G [0; — 1 X > 0 f(x) > f(0) 0 tanx - X > 0 (vì f(0) = 0)
Vậy: tanx > X, X e
Chứng minh tanx > X + —-, X G 0;	.
3	\ , 2 J
Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức:
tanx - 4- - X > 0
7 3
Gọi g(x) = tanx - ~ - X, X e [0;	.
3	2)
Ta có: g ’(x) = 1 + tan2x - X2 - 1 = tan2x - X2
g”(x) - 2tanx(l + tan2x) - 2x = 2tan3a + 2(tanx - x) > 0, Vx e [0; —
Như thế hàm số g’(x) đồng biến trên [0; — I-
Do đó 0 g’(x) > g’(0) = 0, vì g’(0) = 0.
Với điều kiện đó, hàm số g(x) đồng biến trên [0; 2
71
2
X3	.	. „ „ ,
Vậy tanx > —— + X, với mọi X e 0;-^ .
3	I 2 J
Suy ra 0
X3
tanx —-— X > 0 tanx
3
lĩ
X3
§2. cực TRỊ CỦA HÀM số