Giải Toán 12: Bài 2. Hàm số lũy thừa

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CAN NHỚ
Định nghĩa
Hàm số y = xa, với a e R, được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x" tùy thuộc vào giá trị của a. Ví dụ:
+ Hàm số y = x~4 xác định với mọi X # 0.
+ Hàm sô y = X71 xác định với mọi X > 0.
Đạo hàm
1. Hàm số lũy thừa y = xr, r e Q có đạo hàm định bởi:
(xr)’ = rxr_1
Hàm số lũy thừa y = x“ (cc e ]R) có đạo hàm với mọi X > 0 và
(x“)’ = ax“_1
Đốì với hàm số hợp y = u“, u = u(x), ta có (uu)’ = au’u'14
Chú ý: Khi có nghĩa, ta cũng có:
• c^)’ = — (x^O)
nx
.	= (u „ 0)
nu
Các đặc điểm của hàm sô' lũy thừa y = X“trên khoảng (0; +oo):
Khi a > 0 hàm số luôn đồng biến, khi a < 0 hàm số luôn nghịch biến.
Đồ thị hàm sô' luôn đi qua điểm (1; 1).
Tiệm cận:
Khi a > 0 đồ thị không có tiệm cận.
Khi a < 0 đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.
B. BÀI TẬP
Bài 1
Tìm tập xác định của các hàm số:
_! 3
a) y = (1 - x) 3	b) y = (2 - X2)5
y = (x2 - ir2	d) y = (x2 - X - 2)ự2
Giải
Điều kiện 1-X>OX<1
Tập xác định của hàm số: 5) = (-00; 1)
Điều kiện 2 - X2 > 0 -72 < X < 72
Tập xác định của hàm số: 3) = ( -72; 72)
Điều kiện x2-l?i0x?i±l
Tập xác định của hàm số là: 3) = R\(-l; lí
Điều kiện x2-x-2>0ox 2
Tập xác định của hàm số là: 3) = (-co; -1) u (2; 4-co)
Bài 2
Tính đạo hàm của các hàm số:
a)
c)
y = (2x2 - X +1)3
71
y = (3x +1)2
b)
d)
y = (4 - X - X2 y = (5 - xf3
a)
b)
Giải
1	,	_2
= 4(2x2 -x + l)’.(2x2 — X +1) 3
3
2
= 4(4x - l)(2x2 - X + 1) 3
y’ = (2x2 - x + 1)3
1	„ ,	3
= 4(4 - X - X2) .(4 - X - X2) 4 4
1	„ -3
~4(2x + 1)(4 - X - X2) 4
4
(4-X-X2)4
(3x + l)2
= ■^4(3x4-1)3
2
d)
Bài 3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cúa các hàm số: 4
a) y = X3
y = X 3
Giải
4
Khảo sát hàm số y - X3.
Tập xác định: 3) = (0; 4-co)
Sự biến thiên:
Suy ra, hàm số đồng biên trên (0; +co). Hàm số không có cực trị.
Các giới hạn:
lim y = +co và lim y - 0
x-»+o>	x->0*
Bảng biến thiên:
X
3) Đồ thị:	1
Đồ thị đi qua điểm (1; 1). Gốc tọa độ o không —
y’
thuộc đồ thị của hàm số.
Khảo sát hàm số y = X"	Đồ thị:
.
Tập xác định: ẩ) = R\{0}
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = -3x~Đồ thị đi qua hai điểm (1; 1), (-1; -1).
 <0, \/x * 0
Suy ra, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-oo; 0), (0; +co). Hàm số không có cực trị.
Các giới hạn:
lim y = lim Ẳ- = 0, suy ra đồ thị có tiệm cận ngang y = 0.
x->±«2	x->±=o
lim y = lim -Ậ- = +co và lim y = lim -Ạr = -co, SUy ra đồ thị có tiệm x->0’ X—>0’ X	X-»O'	x-»0’ X
cận đứng X = 0.
Bảng biến thiên:	y " I
y’
-1
Hàm số y = X 3 là một hàm số lẻ, nên đồ thị nhận gốc tọa độ o làm tâm đối xứng.
Bài 4
Hãy so sánh các số sau với 1:
(4,1)2’7 b) (O,2)0’3 c) (0,7)3’2	d) (Vã)0’4
Giải
(4,1)2’7 > 1	b) (O,2)0’3 < 1
(0,7)3’2 < 1	đ) (Vã)0’4 < 1
Bài 5
Hãy so sánh các cặp số sau:
2’3
(3,1)7’2 và (4,3)7-2	b) H và 11
(0,3)0’3 và (O,2)0’3
Giải
2'3
(3,1)7’2 (O,2)0’3