Giải Toán 12: Bài 4. Phương trình bậc hai trong C

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Căn bậc hai của sô'phức
Định nghĩa: Sô' phức z được gọi là căn bậc hai của số phức u nếu z2 = u.
Cách tìm căn bậc hai của sô phức u:
Trường hợp u = a là một số thực:
+ u = 0: căn bậc hai của u là 0.
+ u - a > 0: Có đúng hai căn bậc hai của u là Vã và - Vã.
+ u - a < 0: Có đúng hai căn bậc hai của u là Vãi và - Vãi.
Trường hợp u = a + bi (a, b e R và b / 0).
Gọi z = X + yi là căn bậc hai của u, ta có hệ phương trình: X2 - y2 = a
2xy = b
Phương trình bậc hai
Ta xét phương trình bậc hai Az2 + Bz + c = 0 (*) với A, B, c cho trước và A / 0.
Xét biệt thức A - B2 - 4AC
Nếu A í 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
-B + s _ -B - ỗ
Zi —	. Zọ —
1 2A 2 2A
Trong đó s là một căn bậc hai của A.
Đặc biệt:
+ Nếu A là một sô' thực dương thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-B + VÃ _ -B-VÃ
Z, = ——	, z9 = — 	
1 2A 2 2A
+ Nếu A là một sô' thực âm thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-B + VÃi -B - VÃi
z, = 	ZT”	, Z9 =	’	
1 2A 2 2A
Nếu A = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép:
B
Z1 = Z9 = ’'TT
1	2 2A
B. BÀI TẬP
Bài 1
Tìm các căn bậc hai phức của các số sau:
-7;-8;-12;-20;-121
Giải
Gọi u là căn bậc hai phức của các sô đã cho.
z = -7 z = 7i2 => u = ±y/ĩi
Tương tự:
*
-12 => u = ±2a/3 i
-20 => u = ±2>/5i
Bài 2
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
(1)
(2)
(3)
-3z2 + 2z - 1 = 0
7z2 + 3z + 2 = 0
5z2 - 7z + 11 = 0
Giải
a) (1) o 3z2 - 2z + 1 = 0
1 + 1V2
3
A’ = -2 = 2i2
Phương trình (1) có hai nghiệm:
A = -47 = 47i2
Phương trình (2) có hai nghiệm: c) A = -171 = 171i2
Zl,2 ”
-3 ± iV47
14
Phương trình (3) có hai nghiệm:
Z1,2
7±iV171
10
Bài 3
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z4 + z2 - 6 = 0	b) z4 + 7z2 + 10 = 0
Giải
Đặt t = z2 ta được phương trình: t2 + t - 6 = 0
Phương trình này có hai nghiêm tj = 2, t2 = -3 *t = 2ox2 = 2 X = +72
t = -3 X2 = 3i2 X = ±173
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
xlj2 = ±72, X314 = ±173
Đặt t = X2 ta được phương trình:
t2 + 7t + 10 = 0
Phương trình này có hai nghiệm = -2, t2 = -5.
t = -2 « X2 = 2i2 « X = ±172
t = -5 X2 = 5i2 X = ±175
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x12 = ±172, x34 = ±175
Bài 4
Cho a, b, c e R, a 0, Zp z2 là hai nghiêm (thực hoặc phức) của phương trình az2 + bz + c - 0. Hãy tính zỵ + z2 và z1.z2 theo các hệ số a, b, c.
Giải
m	„	2 b c _	( b Y b2 - 4ac
Trong đó 7b2 - 4ac là một căn bậc hai của số phức b2 - 4ac.
Do đó nếu Zp z2 là hai nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 thì ta có:
-b - 7b2 -4ac -b + 7b2 - 4ac
Suy ra ± z2 — va ZpZ2 — a	a
Bài 5
Cho z = a + bi là một sô phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và 2 làm nghiệm.
Giải
Gọi hai nghiệm của*phương trình bậc hai là:
Zj = a + bi, z9 = z = a - bi
Suy ra Zj + z9 = 2a và zrz9 = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2
Vậy Z1 = a + bi và z2 = a - bi là hai nghiệm của phương trình:
z2 - 2az + a2 + b2 = 0