Giải bài tập Toán 11 Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Chương I/ ĐẠO HÀM Bài 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững Đạo hàm tại một điểm Định nghĩa: Cho hàm số’ y = fix) xác định trên khoảng (a; b) và điểm Xo 6 (a; b). Nếu tồn tại giới hạn lim 0 thì giới hạn đó được gọi là ■■ X-*X<| x-x0 đạo hàm của hàm sô' y = fix) tại Xo, kí hiệu là f’(x0) hoặc y’(x0). Đặt Ax = X - Xo là sô” gia của đối số tại Xo, Ay = f(x) - flxo) = f(x0 + Ax) - í(xq) là sô” gia tương ứng của .. Ay hàm sô thì y’(x0) = lim —. X->XO Ax Định lí: Nếu hàm sô' y = f(x) có đạo hàm tại Xo thì nó liên tục tại điểm đó. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí: Cho hàm sô' y = fix) có đồ thị là (C). Đạo hàm của hàm sô” f(x) tại điểm Xo là hệ sô” góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0, f(x0)). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm sô' y = fix) tại điểm M(x0, f(x0)) là: y - y0 = f(x0)[x - x0] (trong đó y0 = f(x0). Y nghĩa vật lí của đạo hàm Vận tốc tức thời: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) thì vận tô”c tức thời của chuyển động tại thời điểm to là v(to) = s’(to). Cường độ tức thời: Nếu điện lượng Q của dòng điện trong dây dẫn là hàm sô' của thời gian Q = Q(t) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to là I(t0) = Q’(to). Đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa: Hàm sô” y = fix) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu có đạo hàm tại mọi điểm X trên khoảng đó. Khi đó hàm sô” f(a; b) —> R X -> f’(x) là đạo hàm của hàm sô' y = fix) trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hay f(x). * Ghi chú: Hàm sô' y = fix) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu có đạo hàm tại trên khoảng (a; b), có đạo hàm bên phải tại a, bên trái tại b. B. GIẢI BÀI TẬP Tìm số’ gia của hàm số’ f(x) = X3, biết rằng: Xo = 1; Ax = 1 x0 = 1; Ax = -0,1. Giải Số gia của hàm số được tính theo công thức: Ay = f(x) - f(x0) = f(x0 + Ax) - f(x0) Ay = f(l + 1) - f(l) = f(2) - f(l) = 23 - l3 = 7 Ay = f(l - 0,1) - f(l) = f(0,9) - f(2) = (0,9)3 - l3 = -0,271. , Ay , Tính Ay và —của các hàm sô sau theo X và Ax Ax y = 2x - 5 b. y = X2 - 1 3 . 1 y = 2x c. y = —. X Giải Ta có: Ax - X - Xo => x0 = X - Ax ; Ay = f(x) - f(x0) = f(x) - f(x - Ax ) • Ay = 2x - 5 - f(x — Ax ) = 2x - 5 — [2(x - Ax ) - 5] = 2x - 5 - 2x + 2 Ax + 5 = 2 Ax , Ay = 2ÁX = 2 Ax Ax • Ay = X2 - 1 - fix - Ax ) = X2 - 1 - [(x - Ax )2 - 1] = Ax (2x - Ax ) . gỵ B Ax(2x -Ax) =2ĩĩ -Ax Ax Ax • Ay = 2x3 - f(x - Ax ) = 2x3 - 2(x - Ax )3 = 2x3 - 2 [x3 - 3x2. Ax + x( Ax )2 - (Ax )3] = 2 Ax [3x2 - 3x. Ax + (Ax )2] Ax x(x - Ax) Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra: y = X2 + X tại Xo = 1 y = — tại Xo = 2 X x + 1 y = - tại x0 = 0 X —1 Giải y= f(x) = X2 + X tại Xo = 1 Giả sử Ax là số gia của đối số tại x0 = 1. Ta có: Ay = f(x0 + Ax ) - f(xo) = f(l + Ax ) - f(l) = (1 + Ax)2 + (1 + Ax) - (l2 + 1) = Ax (3 + Ax ) Ay — = 3 + Ax Ax * lim-ệ^- = lim(3 + Ax) =3 Ax-»o Ạx Ax-»ov ' y = f(x) = — tại Xo = 2 X Ay = f(x0 + Ax ) - Kxo) = f(2 + Ax ) - f(x0) 1 2 + Ax 2 Ax 2(2 +Ax) Ay Ax 2(2 +Ax) Ịim-ệỵ Ax->0 Ạx = lim Ax->0 2(2+ Ax) Ax + 1 . 2Ax ——— + 1 =-—-7 Ax -1 Ax -1 y = ——7 tại Xo = 0 X —1 Ay = f(x0 + Ax ) - f(x0) = f(O + Ax ) - f(O) = Ay _ 2 Ax Ax -1 lim—= lim 2— --2 Ax-»o Ax to-’OAx-l 4. Chứng minh rằng hàm sô': f(x) = (x-1)2 (nếu x>0) -X2 (nếuxcO) không có đạo hàm tại điểm X = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2. Giải Ta có: lim f(x) = lim (x — 1)2 =1 X—>0* x->0* lim f(x) = lim(-x)2 = 0 x->0' x->0 Vậy lim f(x) * lim f(x) nên hàm số f(x) gián đoạn tại X = 0. x-»0~ x-»0‘ Tại điểm X = 2, ta có: lim^- =lim(2 + Ax~1)2~(2~1)2 = lim(2 + Ax) =2 x-^o Ax x'H>0 Ạx x->0 Hàm số có đạo hàm tại X = 2 (điều phải chứng minh). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = X3: Tại điểm (-1; -1); Tại điểm có hoành độ bằng 2; Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. Giải Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm sô' y = X3 tại điểm M(-l; -1) là: y - yo = f(x0)(x - Xo) o y = f(x0)(x - Xo) + f(x0) y = f(x) = X3, y’(x0) - f(x0) = lim —-°-+A-X--—— = 3x2 Ãx^»o Ax Tại điểm (-1; -1) tiếp tuyến với đồ thị có phương trình là: y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2. Tại Xo = 2 => y0 = 23 = 8 y = 3(2)2(x - 2) + (2)3 = 12x - 16 Tại điểm (x0; f(x0)), tiếp tuyến có hệ sô góc bằng 3 nghĩa là: f’(x0) = 3xỏ =3 x0 = ±1 Tại (1; -1) tiếp tuyến có phương trình là: y = 3(x — 1) + 1 = 3x — 2 Tại điểm (-1; -1) tiếp tuyến có phương trình là: y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = — a. Tại điểm X 2;2J; Tại điểm có hoành độ bằng -1; Biết rằng hệ số’ góc của tiếp tuyến bằng . Giải Hàm số y = — có đạo hàm y' = —-Z- X ■ X m . í1 > a. Tại điểm —: 2 <2 J -yệ = -4 Phương trình tiếp tuyến: y - 2 = -4(x - Vế) y = - 4x + 4 Tại điểm có hoành độ Xo = -1 => y'(-l) = -1 và y(-l) = - 1. Vậy phương trình tiếp tuyến là: y + 1 = -l(x + 1) hay y = -x-2 = -(x + 2) Hệ số góc tiếp tuyến bằng - — 4 Tại M ( 2 ; Ỷ~) phương trình tiếp tuyến là: 1 1 1.1 y= . (x + 2)-2-= . X-1 2 4 Tại N( -2; ) phương trình tiếp tuyêh là: y = -2-(X-2)+^- = —7X + I 4 2 4 1.2. n , 2 Một vật rơi tự do theo phương trình s = ^gt , trong đó g«9,8m/s là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + At, trong các trưỡíig hợp At = o,ls; At = 0,05s; At = 0,001s. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s. Giải Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + At là: s(t + At)-s(t) 4,9(t + At)2-4,9t2 vtb = ———2 — = —— = 9.8t + 4,9 At ,b At At Với t = 5, At = 0,1 ta có: vtb = 9,8 (5) + 4,9 (0,1) = 49,49 m/s Với t = 5, At = 0,05 ta có: vtb = 98 (5) + 4,9 (0,05) = 49,245 m/s Với t = 5, At = 0,001 ta có: Vtb -9,8 (5) + 4,9(0,001)« 49,005m/s Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s là: s'(t) = lim — = 9,8t v ’ Ãt^õ At Thay t = 5s, ta có vận tốc thức thời tại t = 5s là: v(5) = s’(5) = 9,8(5) = 49 m/s.