Giải bài tập Toán 11 Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Hàm sô liên tục tại một điểm
Định nghĩa 1.
Cho hàm số y = Rx) xác định trên khoảng K có chứa điểm Xo- Hàm số Kx) được gọi là liên tụctại-ẴQ nếu lim f(x) = f(x0). Hàm số Hx) không liên tục tại Xo X-*Xị)
gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa 2.
Hàm số y = Kx) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liền tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b).
x->a+	x->b*
Một sô định lí cơ bản
Định lí 1.
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
Hàm phàn thức hũư tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác thì liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Định lí 2.
Giả sử y = fix) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm Xo- Khi đó:
Các hàm số y = fix) + g(x), y = fix) - g(x), y = fix).g(x) liên tục tại Xo-
, . TT, fix)
Hàm sô y —— liên tục tại Xo nêu g(x) 0.
g(x)
Định lí 3.
Nếu hàm số y - fix) liên tục trên đoạn [a; b] và fia).fib) < 0 tlừ tồn tại ít nhất một điểm c e (a; b) sao cho fic) = 0.
B. GIẢI BÀI TẬP
Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm sô' f (x) = X3 + 2x -1 tại Xo = 3.
Giải
Ta có: fix) = X3 + 2x - 1 tại Xo = 3
Khi đó fix0) = fi3) = 32 + 2.3 - 1
Xét dãy số bất kỳ (xn) với xn + 3 và lim X = 3.
n->+co
Khi đó limf(x) = lim(x3+2x -1)
x->3 - 7 n—>20 X	'
= 3’+2.3-1 = f (3)
Vậy theo định nghĩa, fix) liên tục tại Xo = 3.
a. Xét tính liên tục của hàm sô' y = g(x) tại Xo = 2. Biết:
x3-8
g(x) =
x-2
(nếu X 2)
(nếu X = 2)
b. Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay sô' 5 bởi số nào để hàm số liên
tục tại Xo = 2.
Giải
a. Với X + 2 => g(x) =	-
X -2
X3—23	(x-2)(x2+2x + 4)
= x — =1	- = x"+2x + 4
x-2	x-2
lini(x) = lim(x2 + 2x + 4) = 22 + 2.2 + 4-12
Với X = 2 => g(2) = 5 =>
■linig(x) = 12*g(2) = 5
Vậy hàm sô' đã cho không liên tục tại điểm X = 2.
g(x) =
x3-8
' x-2
12
b. Nếu hàm số g(x) xác định như sau:
(nếu X 2) T„ . , z , , ,..
. Khi đó g(x) liên tục tại X = 2 (nếu X = 2)
Vậy khi thay số 5 bởi số’ 12 thì hàm số’ liên tục tại Xo = 2.
3. Cho hàm số fix) =
3x + 2 (nếu X < -1)
X2 -1 (nếu X > -1)
Vẽ đồ thị hàm số’ y = f(x). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Giải
Đồ thị hàm số (hình bên). Từ đồ thị thấy hàm số gián đoạn tại X = -1.
Ta có:
lim f(x) = lim (3x + 2) = 3(-l) + 2 =
x->-r	x-»-i
lim f(x)= lim (x2-l) = 0
=> lim f (x) * lim f (x)
Do đó không tồn tại lim f (x)
Hàm số không liên tục tại X = -1
,	X +1 x	.
Cho các hàm số f(x) = —	- và g(x) = tan X + sm X. Với môi hàm sô,
X +x-6
hãy xác định các khoảng trên đó hàm liêm tục.
Giải
Đặt f (x) = —	
X2 + X - 6
Hàm số xác định khi: X2 + X - 6 * 0
 X £ -3 và X -2
Vậy hàm số không xác định tại X = - 3 và X = - 2.
f(x) là hàm phân thức liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định. => hàm sô’ liên tục trên các khoảng (-co; -3); (-3; 2) và (2; +co) ...	/ \ .	, . sinx
Với g (X) = tanx + smx =	+ sinx
cosx
Điều kiện g(x) có nghĩa: cosx *0x^-^ + k7r
Vậy hàm sô' không liên tục tại điểm X =	+ kĩĩ (k 6 Z)
Vì g(x) là hàm sô' lượng giác liên tục tại mọi X và tại đó g(x) xác định. Do đó g(x) liên tục trên các khoảng I — 2 +	2 + k ; v<^i k G z.
Ý kiến sau đúng hay sai?
“Nếu hàm sô' y = fix) liên tục tại điểm Xo và hàm sô' y = g(x) không liên tục tại Xo, thì y = f(x) + g(x) là một hàm sô' không liên tục tại Xo”.
Giải
Ý kiến trên đúng, vì y = h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại Xo thì h(x) - f(x) = g(x) liên tục tại Xo (theo định lý 2 về hàm sô' liên tục) trái với giả thiết g(x) không liên tục tại Xo.
Chứng minh rằng phương trình:
2x3 - 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiêm.
cosx = X có nghiệm.
Giải
a. Đặt f(x) = 2x3 - 6x + 1
TXĐ: D = R
Ta có: ÍI-2) = 2.(-2)3 - 6(-2) + 1= -3 < 0
f(-l)= -2 + 6 + l = 5>0 => f(-2).n-i) < 0
Mà f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên tập R. Do đó f(x) liên tục trên (-2; -1).
=> Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiêm x0 e (-2; -1).
Tương tự ta có:
f(-l) = 2.(-l)3 - 6.(-l) + 1 = 5
f(l) = 2 - 6 + 1 = -3
=> f(-1 ).f( 1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm Xo e (-1; 1).
Vì các đoạn (-2; -1) và (-1; 1) rời nhau nên các nghiệm nói trên không thể trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm.
b. Xét hàm số: g(x) = X - cosx liên tục trên R, do đó liên tục trên đoạn [-71, 71 ] ta có:
g(-7c) = -TC--cos(-7ĩ) = -7ĩ + l < 0
g(7l) = 7I-COS7I = TT-(-l) = 7t + l > 0
=> g(-Tt).gO) < 0
Theo định lí 3, phương trình X - cosx - 0 có nghiêm trong (-n. 7i) tức là cosx = X có nghiệm.