Giải bài tập Toán 11 Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài 3
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Phương trình bậc nhát với một hàm số lượng giác
Phương trình bậc nhất với một hàm sô' lượng giác có dạng at + b = 0, trong đó a, b là các hằng sô' với a * 0, t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx.
Cách giải: Đưa về các phương trình cơ bản.
Phương trình bậc hai vó’i một hàm sô' lương giác
Phương trình bậc hai với một hàm sô' lượng giác: at2 + bt + c - 0, trong đó a, b, c là các hằng sô' với a # 0, t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx.
Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác t làm ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, giải phương trình theo ẩn phụ, loại các nghiệm của phương trình với ẩn phụ không thỏa mãn điều kiện đặt ra (nếu có). Giải các phương trình lượng giác cơ bản.
Phương trinh bậc nhất với sinx và cosx
Phương trình bậc nhất với sinx và cosx có dạng asinx + bcosx = c, trong đó a, b, c là các hằng sô' với a2 + b2 5* 0.
Cách giải: Chia hai vê' của phương trình cho x/a2 + b2
. a	b
Đặc cos a = , -	- , sin a = .	,
ựa2+b2	ựa2+b2
ta được phương trình: sin(x + a) - .
Va2+b2
(1)
Giải phương trình (1).
B. GIẢI BÀI TẬP
Giải phương trình: sin2x-sinx = 0.
Giải
sin2x-sinx = 0 sinx(sinx-l) = 0
sinx = 0
sinx -1 = 0
sinx = 0
sinx = 1
X = k7i
(keZ)
b. 2sin2x + V2sin4x - 0.
Giải
2cos 1-cos2-^--2cos^- + 2 = 0
 2
x - 3cosx + 1 = 0	(1)
Đặt t = cosx, điều kiện: -1 < t < 1
t = l
(thỏa điều kiện) t = 2-
2
X = k2ĩ[
x-±ĩ+k2Jt(kez>
3
cosx = 1
 	 1	7Ĩ
cosx = — = COS-— L 2	3
2sin2x + V2sin4x = 0
 2sin2x + V2.2sin2x.cos2x = 0
2x = kĩĩ
x = kỊ
2
cos2x =
371 cos—
4
Vì
3ti 1
cos— =	7
4	y[:
x = kỊ
2
2x = ±-^ + k27u
L 4
Giải các phương trình sau:
sin2 ^--2cos^- + 2 = 0
2	2
2tan2x + 3tanx + 1 = 0
keZ
. 371 , ,
X = ± —- + k7I
b. 8cos2x + 2sinx-7 = 0
tanx-2tanx + l = 0.
Giải
sin2x = 0
cos2x = -
Đặt cos _ = t với điều kiện -1 < t < 1, ta có:
2
t2 + 2t - 3 = 0 => ti = -3 (loại), Í2 = 1 (nhận).
Với t2 = 1 ta có:
cos 4 = 1 ị ~ k27i X = k4ĩi (k G Z).
2	2	7
8cos2x + 2sinx -7 = 0	(1)
X	2— t	2_.
vì cos X = 1 - sin X
nên (1) 8(-sin2x) + 2sinx -7 = 0
 8sin2x - 2sinx -1 = 0
Đặt t = sinx với điều kiện -1 < t < 1, ta có:
8t2 - 2t - 1 = 0 => ti = 7- (loại), t2 = --7 (nhận).
.	1	. 71
sinx = -7 = sin —
2	6
keZ
2	4
X = 71 - + k27t =	+ k2ĩt
6	6
* Với t2 = —7 ta có:
4
X = arcsin
+ k27T
keZ
sinx = -
X = 7T-arcsm
c. 2tan2x+ 3tanx+ 1 = 0
(3)
Đặt t = tanx, t e R. Ta có:
tan x = -1
71 . ,
x = - — + K71
4
X = arc tan
+ k7t
tanx - 2cotx + 1 = 0
 tan2x + tanx -2 = 0 (với tanx 5 Nhận xét: cosx = 0 X = 2+kĩI không là nghiệm phương trình(l).
Chia hai vế phương trình cho COS2X (cos2x * 0)
 0)
Đặt t = tanx, t e R . Ta CÓ:
t2 + t - 2 = 0 => ti = -2, t2 = 1
Ta CÓ:
tan X = - 2
tan X = 1
X = arctan (-2) + kĩT
7T	k e z
X = — + kft
4
Giải các phương trình sau:
2sin2x + sinxcosx-3cos2x = 0
3sin2x-4sinxcosx + 5cos2x - 2
sin2x + sin2x-2cos2x = —
2
2cos2x-3V§sin2x-4sin2x = - 4
Vậy chia 2 vế cho COS2X (cos2x + 0 )
Khi đó (1) 2tan2x + tanx-3 = 0
Đặt t = tanx, t e R . Ta có:
(2) 2t2 +t-3=0
't = l
tanx = 1
3	«
3
tanx = -
—
2
2
b. 3sin2x-4sinx.cosx+ 5cos2x = 2
 3sin2x - 4sinx.cosx + 5cos2x = 2
 sin2x -4sinx.cosx + 3cos2x = 0
Giải
(1)
a. 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0 Nhận xét: nếu cosx = 0 thì trình (1).
kĩĩ không là nghiệm của phương
(2)
= ^ + k7i
4	/ OA keZ
3 I , .
X = arctan +k7ĩ
1 2j
(sin2x + cos2x)
(1)(2)
 tairx-4tanx+ 3 = 0 Đặt t = tanx, t G R . Ta CÓ :
«t2-4t + 3 = 0
tanx = 1
tanx = 3
x = — + K7T
4
X = arctan (3)+ k7T
sin2x + sin2x-2cos2x = “
4(sin2x + cos2x
2V
2
 sin2x + 2sinxcosx -2cos2x =
 4sin2x + 2sinxcosx-4cos2x = 0 2	2
(1)
 sin2x + 4sinxcosx - 5cos2x = 0
* Nhận xét: cosx = 0x = y + k7T không phải là nghiệm phương trình (1). Chia 2 vế của phương trình cho COS2X (cos2x ^0). Ta có:
(1) tan2 X+ 4tanx-5 = 0	(2)
Đặt t = tanx, khi đó:
(2) «t2+4t-5 = 0
t = 1	tan X = 1
t = -5	tanx = -5
7Ĩ . ,
*:=4+fa (keZ)«
X = arctan(-5) + kĩĩ
71 . 1
X = - + k7ĩ
4	(k e Z)
X = arctan(-5) + k7T
2cos2x-3Vjsin2x-4sin2x =-4
 2cos2x -3>/o.2sinx.cosx-4sin2x = -4(sin2x + cos2x)
cosx = 0
cos
= 0
 6cos2x - óV^sinxcosx = 0
cosx = 0
cosx - Vasinx = 0
X = — + kĩr
(keZ)
2
X = -^ + kĩĩ
6
Giải các phương trình sau:
cosx - VJsinx = V2
3cos3x - 4cos3x = 5
2sinx + 2cosx - V2 = 0
5cos2x + 12sin2x-13 = 0
Giải
a. cosx-Vĩsinx = V2 (1)
Chia 2 vế của (1) cho 2 ta được:
(1) _cosx ——— sinx = ——
2	2
71	.71.	71
COS -r .cosx - sin -- sinx - cos—
3	4
(	, 71^1	71
 COS x+_ =cos—
3 J 4
x + Ị = Ị + k27T
(kSZ)
3 4
x + Ị = -Ị + k27ĩ
3	4
X = --^- + k27T
72k (keZ)
X = --^ + k27ĩ
12
b.
3sin3x-4cos3x - 5	(1)
Chia 2 vế của (1) cho 5 ta được:
3 . „	4
^-sin3x-^cos3x = l (2)
5	5
: — = cosa;4 = sina, khi đó:
5	5
 cosa.sin3x - sina.cos3x = 1
sin(3x-a) = l
(1)
Đặt:
(2)
3x-a = -^ + k27i (keZ)
 X =- + -^- + k^- (keZ)
3 6	3
2sinx + 2cosx + 2sinx + 2cosx = V2 (1)
Chia 2 vế của (1) cho 2V2 ta được:
(1) —7= sinx + —7= cosx =-7 V2 V2 2
. 
o 2x +1 = 77 - 3x +1 + k7t
2
 •	. • 71	. 71
4	4	6
 COS—.sinx + sin—.cosx = sin —
sin
.71
= sin -
6
,71	7Ĩ, , „
x+-7 = 7u — -7 + k27T
4	6
(keZ)
71	7t,_
X + -7 = -7 + k27I
6
X = --^- + k27t
12
v = 7tĩ 1/U
X = 777 + k2n
12
d. 5cos2x + 12sin2x-13 = 0
 5cos2x + 12sin2x = 13	(1)
Chia 2 vế của phương trình (1) cho 13 ta được:
5	_	12
 777COs2x + -77SÌn2x = 1	(2)
13	13
15	12 _
Đặt 77 = sina; 77 = cosa
13	13
 sina.cos2x + cosa.sin2x = 1
 sin (2x + a) = 1	 2x + a = y + k27T
 x = ^ + ^- + k7i (keZ)
4 2 v ’
6. Giải các phương trình sau:
a. tan(2x + l).tan(3x-l):=l
b. tanx + tan
„ ,71
x+ —
a. tan(2x + l).tan(3x - 1) = 1
o tan(2x + 1) -
Giải
-—7^	7- = cot (3x -1)
tan(3x-l) v 7
(Vì tan(3x - l).cot(3x - 1) = 1) tan(2x+ 1) = tan ^-3x + l
_ „ _ 71 k7T
 X = 7-7 + —7- (keZ)
10 5 v ’
b. tanx + tan X + — = 1 l 4 ;
 tanx +
71
tanx + tan —
4
,	.	7Ĩ
1 -tanx.tan —
4
tanx + 1	,	,	71 , , x
tanx + -	= 1 (Điểu kiện: tan X * 1 X * -- + K7Ĩ)
1 -tanx	4
tanx( 1 - tanx) + tanx + 1 = 1- tanx tanx -tan2x + 2tanx = 0
tan2x -3tanx = 0
tanx = 0
tanx = 3
 tanx (tanx - 3) = 0 X = k7í	,	.
(keZ)
X = arctan3 + k7ĩ