Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
Khi nào thì cấp số cộng là dãy sô' tăng, dãy số’ giảm?
Giải
Ta có: un+1 - un = q => (un) là dãy số tăng nếu công sai q > 0, dãy số giảm nếu công sai q < 0.
Cho cấp số nhân có U1 < 0 và công bội q. Hỏi các sô' hạng khác sẽ mang dâ'u gì trong các trường hợp sau:
a. q > 0	b. q < 0.
Giải
Ta có: un = Ui.q11-1 Vn > 1, q > 0, u, un 1
Nếu q < 0, U1 < 0, ta có:
un =u1qn'1 =(-!)". |u,| -|qn_l| Vn>l
un > 0 nếu n chẵn, và un < 0 nếu n lẻ.
Cho hai cấp sô' cộng có cùng các sô' hạng. Tổng các sô' hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp sô' cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Giải
Giả sử có hai cấp sô' cộng (un), (vn) có công sai lần lượt là di, d2, cùng các sô' hạng bằng nhau, nghĩa là:
U1, u2, ..., un (1) và V1, v2,...., vn (2).
Xét dãy sô' (an) với an = un + vn, n e N*
= u,+v1
a2 = u2 + v2 = Uị + dị + Vị + d2 = (Uị + Vj) + (d, + d2)
an =un+vn =u1+(n-l)d,+v1+(n-l)d2
= (ul+v,) + (n-l)(d1+d2)
Điều đó cho thấy dãy sô' mà mỗi sô' hạng là tổng các sô' hạng tương ứng của hai cấp sô' cộng (1) và (2) cũng là một cấp sô' cộng với công sai bằng tổng các công sai của hai câ'p sô' cộng kia.
Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16 công sai: di = 3
20, 18, 16, 14, 12, 10 công sai: d2 = -2
Dãy tổng các sô' hạng tương ứng là: 21, 22, 23, 24, 25, 26 là cấp sô' cộng có công sai d = di + d2 = 3 + (-2) = 1.
Cho hai cấp sô' nhân có cùng các sô' hạng. Tích các sô' hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp sô' nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Giải
Giả sử có hai cấp số nhân (un), (vn) với công bội tương ứng Ợ1 và q2- Xét dãy số (an) với an = un.vn
Ta có: Un = U1 . qi""1, vn=v1q2n-1
a„ = u„vn = (uiv1).(q1q2)n_1
Vậy dãy số (an) là cấp sô’ nhân với công bội q = qiq2.
Chứng minh với mọi n 6 N*, ta có:
13n - 1 chia hết cho 6
3n3 + 15 chia hết cho 9.
Giải
Xét Un = 13n - 1
Ta có: với n = 1 thì u, = 13 — 1 = 12:6
Giả sử: Uk = 13k - 1 chia hết cho 6
Ta có: Uk + 1 = 13k + 1 - 1 = 13k + 1 + 13k - 13k - 1
= 13k(13 - 1) + 13k - 1
= 12.13k + uk
=> Uk +1 là tổng hai số hạng, mỗi số’ hạng chia hết cho 6.
Vậy Uk +1 chia hết cho 6.
Như vậy, mỗi số hạng của dãy số (un) đều chia hết cho 6 Vn e N
3n3 + 15n chia hết cho 9
Đặt un = 3n3 + 15n
+ Với n =1 => U1 = 18 : 9
+ Giả sử với n = k > 1 ta có:
Uk = (3k3 +15k): 9 (giả thiết quy nạp)
+ Ta chứng minh: Uk+1 : 9
Thật vậy, ta có:
uk+1 = 3(k + l)3 + 15(k + l)	= 3(k3 + 3k2 +3k + l) + 15k + 15
= (3k3 + 15k) + 9k2 +9k + 18 =(3k3 +15) + 9(k2 +k + 2) = uk + 9(k2 + k + 2)
Theo giả thiết uk: 9 , hơn nữa 9^k2 + k + 2p 9 Vk > 1 Do đó Uk+1 cũng chia hết cho 9.
Vậy Un = 3n3 + 15n chia hết cho 9 Vn e N*
Cho dãy số (un) biết U1 = 2, Un + 1 = 2un - 1 (với n > 1)
Viết năm số hạng đầu của dãy.
Chứng minh Un = 2n_1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
Giải
5 sô' hạng đầu dãy là:
Ui = 2;	u2 = 2ui -1 = 3;	u3 = 2u2 -1 = 5;
u4 = 2u3 -1 = 9; u5 = 2u4 - 1 = 17.
Chứng minh: un = 2n_l +1 bằng phương pháp quy nạp:
Với n = 1 => U| = 21'1 +1 = 2 (đúng).
Giả sử (un) đúng với n = k > 1
Tức là Uk = 2k~' +1 (1)
Ta phải chứng minh phương trình đã cho đúng với n = k + 1 nghĩa là: uk+l =2k~l_1+l = 2k+l
Theo giả thiết: Uk+1 = 2uk-i
(1) Uk+1 = 2(2k"1 + 1) - 1 = 2.2k.2_1 + 2 - 1 = 2k + 1
Biểu thức đã cho đúng với n = k + 1, vậy nó đúng với n e N*
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy sô' (un), biết:
a. un = n + — b. un = (-1)" 1 sin— c. un = ựn + 1 --ựn.
n	n
a. u„ n
n n
Giải
(n + l2+l)
=>un.l=—	-
Xét: un+1-un
(n + l)2+l n2+l
n + 1	n
= 1	-ỉ—>0 VneN’
n(n + l)
n + 1
=> un+1 > un. Vậy un là dãy tăng.
, 1 , . 1 „
U"=n + T =>u1=1 + y = 2 n	1
Vì là dãy tăng nên Uị = 2 un > 2 => (un) bị chặn dưới.
Vì un = n +1 > n Vn e N*
=> (un) không bị chặn trên. Vậy un không bị chặn.
1	71	,
Nhận xét: 0 < — < 77 VneN n 2
. 1 ịun<0 (nếu n chẵn)
=> sin — > 0 nên
n	u >0 (nếu n lẻ)
=> u, > 0; u2 > 0; u3 > 0; u4 > 0 và U] > u2; u2 > u3; u3 > u4; ...
Vậy dãy số (un) không tăng, không giảm => (un) không đơn điệu.
Vì 00 <sin—<1 ÍVneN’)
n 2	n v 7
 -1 -l<un<l VneN’
Vậy Un bị chặn,
un = 7n + l -y/n
Vn + 1+ ựn	Vn + 1+ Vn
^Vn + 1 - Vĩĩ^Vn + l + Vĩĩj	Ị
Ta có: un+l = .	—/== < .—-2 —7=
Vn + 2 + Vn +1 V n +1 + V n
=> un+l < un • Vậy dãy số (un) giảm.
Mặt khác: 0 < , ■ ■ 	f= < 1
Nên dãy số (un) bị chặn.
8. Tìm số hạng đầu U1 và công sai d của các cấp số cộng (un), biết: 5Uj +10u5 = 0 S4=14
a.
b.
u7 +U|5 = 60 u4+u22 =1170
Giải
a.
5u, +10u5 =0
S4=14
b.
u7 +ul5 = 60
u4 +un =1170
5u, +10(u( +(4d) = 0 4.3 .
4u.+-^d = 14
2
u, = 6d + Uị +14d = 60
i5u!+40d = 0
8ut +12d = 28
U| = 8 d = -3
2u, + 20d = 60
U|+3d)2+(Uị+lld)2 =1170
u, = 30-10d
(30-7d)2+(30 + d)2 =1170
Uị = 0, d = 3
 „ __1O .21
U, = -12, d = —-
I	5
9. Tìm số hạng đầu U1 và công bội q của các cấp số’ nhân (un), biết:
u6 =192
' u7 =384
b.
u4-u2 =72 u5 -u3 =144
c.
u2 +u5 -u4 =10
u3 + u6 - u5 = 20
Giải
Dùng công thức: un = ul.q"~' với n>2
u6=192
' u7 =384
u,.q5 =192
<
u,.q6 = 384
q = 2
<
U| = 6
b. <
u4 = U, = 72 u5-u3 =144
u1.q’-u1.q = 72
u,.q4 -u,.q2 =144
u,.q(q2-l) = 72 rq = 2 u,q2 (q2-1) = 144	1U| =12
u2+u5-u4=10 Uị.q + tq.q4-urq3 =10
c- I	1
u3+u6-u5 =20	[u1.q2+u,.q5-u1.q4 =20
lu,.q(l + q’-q2) = 10 Jq = 2
ulq2(l + q'-q2) = 20 1UI = 1
Tứ giác ABCD có số đo của các góc lập thành một cấp số nhân theo thứ tự A, B, c, D. Biết rằng góc c gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.
Giải
Các góc của tứ giác là A , B , c , D (A > 0) tạo thành cấp số nhân:
Vậy B = A .q, c - A .q2, D = A .q3.
Theo giả thuyết ta có:
A = 4 A, => Aq2 = 4A q2 = 4 q = ± 2
Ta chỉ nhận q = 2>0(q = -2 loại)
Mặc khác A + B+ C + D= 360°
=> A + Aq+Aq2+Aq3 = 360°
 Â + 2A + 3A + 4A = 360° 15Â = 360° Â = 24°
Vậy B = 48°; C = 96°; D = 192°
Biết rằng ba X, y, z lập thành một cấp số nhân và ba sô' X, 2y, 3z lập thành một cấp sô' cộng. Tìm công bội của cấp sô' nhân.
Giải
Cấp sô' nhân (un) có công bội q có thể viết dưới dạng:
U1, Uiq, Uiq2,.... Uiq11’1
Vì X, y, z lập thành cấp sô' nhân nên: y = x.q, z = X.q2 (1)
Mặt khác X, 2y, 3z lập thành cấp số cộng nên
X + 3z
2
= 2y
(2)
x + 3.(x.q2)
Thay (1) vào (2) ta được: 	7	- = 2.x.q
 1 + 3q2 =4q
 3q2 -4q + l = 0
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12.288m2. Tính diện tích mặt trên cùng.
Giải
Gọi s là diện tích mặt đáy của tháp, s = 12.288 (m2)
Gọi Si, S2, S3 ... S11 là diện tích bề mặt của mỗi tầng.
s
Diện tích của tầng một bằng nửa diện tích của đáy tháp => Sị = y
s, s Sn s	s
Mặt khác theo giả thuyết: s, = ~	; S, = -7- = -7-; ... =>Sn=T7-
2 2 4 3 2	8 n 2
Vậy diện tích mặt trên cùng chính là diện tích tầng tháp thứ 11 nên: c ... s - 12.288
Sii=ỷr = -^ư =6(m )
—-—, ——— cũng lập thành một cap so cộng, c + a a + b
Giải
—-—, —-—, —ỉ— lập thành cấp số cộng ta b+cc+aa+b
2
Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng
(a, b, c 0) thì các sô’ 	,
Để chứng minh các số’
b + c
chứng minh: ——— +	—
b + c a + b a + c
Ta có: ——— + ——- =	
b + c a + b a + c
 (a + c)(a + c + 2b) = 2(a + b)(b + c) a2+c2 =2b2 (1)
Đẳng thức (1) thỏa khi a2, b2, c2 là cấp số’ cộng. Vậy ———, —-—, -1 lập thành cấp số cộng, b+c c+a a+b ’
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III
Cho dãy số (un), biết un = 3n. Hãy chọn phương án đúng:
Số hạng un + 1 bằng:
A. 3n + 1	B. 3n + 3 c. 3“ . 3 D. 3(n + 1).
Giải
un+| = 3n+l = 3".3. Chọn đáp án c.
Số’ hạng U2n bằng:
A. 2.3n	B. 9n	c. 3n + 3 D. 6n.
Giải
un = 3” = (32) = 9". Chọn đáp án B.
Sô' hạng un _1 bằng:
D. 3n - 1.
D. 32(n-1>.
A. 3“ - 1 B. ịsn c. 3n - 3 3
Giải
un_Ị = 3"~' = 3n.3_l = -y-. Chọn đáp án B.
Số hạng U2n-1 bằng:
A. 3 .3n - 1 B. 3n. 3n_1 c. 32n - 1
Giải
u2n_, =3<2i’-1) =32i,.3_1 =3".3n_l. Chọn đáp án B.
Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy sô' tăng, nếu biết công thức sô' hạng tổng quát un của nó là:
A. (-l)-'.sini	B. (-1):"(5"+1)
1	D. .
Vn + l+n	n’+l
Giải
Lập hiệu Un+1 - un ta thấy: (-l)2(n+1)(5n+1 + 1) — (-l)2n(5n + 1) 4.5” > 0.
Vậy dãy (—l)2" (5" +rj là dây sô' tăng. Chọn đáp án B.
Cho cấp sô' cộng -2, X, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
B. X = 1, y = 7
D. X = 2, y = 10
A. x = -6, y = -2
X = 2, y = 8
Giải
Vì - 2, X, 6, y lập cấp số’ cộng nên: ■
-2 + 6
X = ——— 2
X = 2
y = 10
Chọn đáp án D.
Cho cấp số nhân - 4, X, - 9. Hãy chọn kết quả đúng trong kết quả sau: A. X = 36 B. X = - 6,5 c. X = 6 D. X = - 36.
Ta có: -9 = -4.q2 => q2
Giải
— q = ± _
= 6. Chọn đáp án c.
4	2
2J
Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
U|Q+U20
2
= u5+ul0
B. U90 + U210 = 2U150
c. U10.U30 = U20
u,n.u
D U1O.-.U3Ọ. _ u. 2	u20.
Giải
Ta có: un là cấp số cộng số hạng đầu U1, công sai d thì:
U9Ũ + U2IO = U| + 89d + u, + 209d = 2ut + 298d = 2(ux + 149d)
Vậy U90 + U210 = 2U15O- Chọn đáp án B.
6. Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn các dãy số là cấp số nhân:
u, = 2
u_ , = U"
n+1 n
A.
B.
u, = -l Un+1 = 3un
U1 =-
Un+1 =un+l
D. 7,77,777,....,
77^7
n chữ sõ' 7
Giải
(un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: Un+1 = un.q với n G N
Ta có: Un+1 = 3un => công bội q = 3 và un = Ui.q11-1
=> U1 = U1 . q1 1 = -1
U1 = -1. Vậy
< U| =_1
Un+I = 3un
là cấp số nhân.
Chọìi đáp án B.