Giải bài tập Toán 11 Bài 1. Giới hạn của dãy số

Chương IV
GIỚI HẠN
Bài 1
GIỚI HẠN CỦA DÃY số
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Giới hạn hữu hạn của dãy số
Định nghĩa 1:
Dãy số’ (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, kí hiệu là lim Un = 0 hay un —> 0 khi n —>+co, nếu |unỊ nhỏ hơn một số dương bé tùy ý £ kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Định nghĩa 2:
Dãy số (u„) có giới hạn là a khi n —> 4-C0, kí hiệu là lim un = a hay
n—»+oo
Un —> a khi n —> 4-00, nếu lim (un - a) = 0.
n—>4-00
Một vài giới hạn đặc biệt
lim — = 0, lim — = 0 (k là sô’ nguyên dương)
n—>+co Ị-Ị	n—>4-00 Ị-Ịk
lim q11 = 0 nếu |q| < 1
n—>4-00
lim c = c nếu c là hằng số, un = c, Vn.
n—>4-00
Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí: Nếu limun = a, limvn = b thì:
lim(un + vn) = a + b; lim(un - vn) = a - b;
lim(un.vn) = a.b; lim— = Y nếu vn # 0 và b # 0
Vn b
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp sô’ nhân vô hạn (un) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Đặt sn - U1 + U2 + ... + un thì:
s = lim Sn = U| được gọi là tổng của câ’p sô’ nhân lùi vô hạn n->+«>	l_q
s = ux + u2 + ... + Un
Giới hạn vô cực
Ta nói dãy sô' (un) có giới hạn -00 khi n —> 4-00, kí hiệu: lim un = -00 hay Un —> -00 khi n —> 4-co, nếu lim (—Un) = 4-00
n—>4-00	n—>4-00
Một số giới hạn đặc biệt:
limnk = +co (k là sô' nguyên dương)
limq11 = +co nếu q > 1
Định lí:
Nếu limun = a và limvn = ±co thì lim— = 0
vn
Nếu limun = a > 0, limVn = 0 (vn > 0 Vn) thì lim— = +CO
Vn
Nếu limun = +co và limvn = a > 0 thì limunvn = 4-co.
B. GIẢI BÀI TẬP
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa sô' chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đô'i với sức khỏe con người (T được gọi là chu kỳ bán rã).
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.
Tìm số hạng tổng quát un của dãy sò' (un).
Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một sô' năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với sức khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khô'i lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10“6g
Giải
Sau chu kì bán rã thứ nhất, khối lượng chất phóng xạ là U1 = kg. Sau
chu kì bán rã thứ hai là u2 = —-4 = -ykg... Sau chu kì thứ n thì khối luợng
2 2-
là un = ^-kg
Vậy sau 30 chu kì bằng 30 X 24.000 = 720.000 năm thì chất phóng xạ không còn độc hại.
Tìm dãy số (un) thỏa mãn |un-l| 0. Chứng minh rằng:
n"
limun = 1.
Giải
Ta có nổ > n0
d
Cho d > 0 nhỏ tùy ý. Ta chọn số tự nhiên n0 sao cho < d. n0
Khi đó thì với mỗi số hạng un của dãy sô'
(un) mà n > n0 ta đều có |u -11 < —T < d.
n0
Theo định nghĩa thì lim(un - 1) = 0 hay limun = 1.
3. Tìm các giới hạn sau:
a. lim
6n-l
3n + 2
b. lim
3n2 + n -5
2n2+l
3n +5.4n
c. lim——— 4n +2n
, ự9n2 -n + 1
lim— -—
4n-2
Giải
a.
.. 6n-l lim -	-
3n + 2
n
6-0
3-0
b.
lim
2n2+l
3n2 + n - 5
c.
= lim
4n.
d. lim
k/9n2 -n + 1
4n-2
= lim
444
Van
n(ụ
k nJ
lim3.1im./1--- + “T
V 9n 9n2
lim4-lim—
Để trang hoàng cho căn' hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3	 n,trong đó cạnh của hình
vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới)
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.
Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính U1, U2, U3 và un
Tính lim sn với Sn = U1 + U2 + U3 + .... + un
Giải
1	1 m 1	1
1 4 2 4	42	" 4
b. limS„ = lim — + — +	' =-ị
"	<4 42	4 J Ị-l 3
4
_ , 1 1, (-1)" ,
Tính tông s = -1 + ^-^ + ... + ^^ + ...
Giải
,1-1	(_l)n
Ta có, dãy số' -1, -1; ——T, ...,	là một câp sô nhân lùi
10 102	10n-l
vô hạn với sô' hạng đầu là -1, công bội q = ■—7.
Tổng s của câp số nhân đó là:
-10
10 102
10
1+1 11
10
6. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202... (chu kỳ là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số’:
a = 1.020202
Giải
2	2
100
10000 1000000
2
2	2	2
ĨÕĩ + ĨÕĩ + TỠ
102
2 _ 101
99 “ 99
7. Tính các giới hạn sau:
a.
11 -n -n
b.
c.
102
11
a.
Giải
ì (	2
= lim 11 . 1 + —
V n
1 , 1
—y	~
n2 1T
,	<	2	1	1
= linin'.lim 1+—7 + —7
\	11 11 n
„2 í ,5	2
.11 .	1 	 	7
V 11 n
= —co
n~ -11 -n
= lim
- n - n
11 - n + n
= lim
/n2 -n +11
Vn2 -11+11
n
11 J
-n
—n
n -n-ir
-n+n = lim n./n-—+ n =limn.lim
■ /	V n
d. Ta có:
= +co
3un-l
un+l
f(x)
lim
x^x0 L g(x) J M
L , „
= — (nếu M * 0)
Cho hai dãy số (un) và (nn). Biết limun =3, limvn =+co. Tính các giới hạn:
Giải
3u„-l
a. lim—-—1 un+l
lim(3un-l)
 lim3u,
- lim 1
 9-1
= lim(un+l)
■ limun
+ lim 1
~ 3 + 1
(	2 1
b. lim vậ
V -1
v„
.1 + —
lim
1 + —
= lim —
I VJ
l VJ
vn
vn - „
lim
vn - —
Vn,
Vn,
a. lim
2
lim 1 + lim
=1^ =0
lim V.--L- lirnv,,