Giải bài tập Toán 11 Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
Bài 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững 1. Giới hạn sĩnx [sinx]’ = cosx; [cosx]’ = -sinx; [tanx]’ = 2— ; cos X [cotx]’ = ———; sin X [sinu]’ = u’.cosu ; [cosu]’ = -u’.sinu ; [tanu]’ = —-T— ; cos u r x ,, u' [cotuj = ———. sin u Định lí: lim——— 1 x^õ X B. GIẢI BÀI TẬP 1. Tìm đạo hàm của các hàm sô” sau: x2+2x + 3 x2+7x + 3 H — — a r x-l V = (x-l)’(5x-2)-(x-7)(5x-2)’ = 3 <5x-2y (5x-2)2 (5x-2)2 b _px + 3\_ (2x + 3)'(7-3x)-(2x+3)(7-3x)'_ 23 ' y l?-3xj (7-3x)2 ~(7-3x)2 , _rX2+2x + 3Ì _ (x2+2x+3)'(3-4x)-(x2+2x + 3)(3-4x)' ■ ( 3-4x ) (3-4x)2 -4x2 + 6x +18 _ -2(2x2 - 3x - 9) (3-4x)2 - (3-4x)2 fx2+7x + 3^ _ (x2+ 7x + 3)'(x2-3x) -(x2+7x + 3)(x2-3x)' X -3x ) (x -3x) _ (2x + 7)(x2 -3x)-(x2 +7x + 3)(2x-3) _ -1 Ox2 - 6x + 9 (x2-3x)2 2. Giải các bất phương trình sau: x2(x-3)2 , zx z- X2 +x + 2 a. y <0 với y = . x-1 , ZX 2x-l c. y > 0 với y = x2+x + 4 k > n _ X2 +3 b. y >0 với y = x + 1 Giải a. Ta có: y' = (2x + l)(x-l)-(x; + x + 2) s (x-1)2 _ X2 -2x -3 (x-1)2 y’<0 O n «xg(-1;1)u(1;3) X -2x-3 <0 X2 -2x-3 b. Ta có: X e (-co;-3) 0(1; +00) c. Ta có: y' = -——— <x +x + 4 J ■ _ -2x2 +2x + 9 " (x2+x + 4)2 -9x2+2x + 9 (x2 +x + 4)2 1-719 1 + 719 < e 2 J ; —J 2 2 3. Tìm đạo hàm của các hàm số’ sau: , sinx + cosx b. y = 7 " 7 sinx - cosx a. y = 5sinx-3cosx c. y = x.cotx f. y = sin 71+ x2 X sinx Giải a. y’ = 5(sinx)’ - 3(cosx)’ = 5cosx + 3sinx sinx + cosx)’ (sinx-cosx)-(sinx-cosx)’ .(sinx + cosx (sinx-cosx)2 , sinx , X d. y — + — e. y = 71 + 2tanx b. y' = - Ta có: (cosx - sinx) (sinx - cosx) - (sinx + cosx) (cosx + sinx) f. y' = í sin x/l + x2 ] = (Vl + x2 ì cosựl + x2 xcosVl + x2 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. y = (9-2x)(2x3-9x2+1) y = (x-2)ựx7 +1 (sin ư’ = u .cosu) b. y =í óVx--Ụ |(7x-3) X. X. y y = tan2x-cotx2 y = cos Giải y' = [(9-2x)(2x3-9x2+l)]' 9x2+l)' = (9-2x)’(2x3-9x2 +l) + (9-2x)(2x3 = -2(2x3-9x2+1) + (9-2x)(6x2-18x) = -16x3 -108x2 -162x-2 Đặt u = 6>/x-—■- => u =—r= + —T X yjx X V = (7x - 3) => V = 7 y' = (u.v)’=ưv + vu = f^ + -4ì(7x-3) + 7fóVx—= 63VĨ—ị <Vx X' ) V X ) y/x X X y' =(x-2)'Vx2 +1 + (x-2)^Vx2 +lj' Ị 2 x(x-2) _2x2-2x + 1 d. y'= (tan2x)'-(cotx2)' 2tanx , 2x + T 2 cos X sin X X . X = —- sin —— (1 + x)2 1 + x , í' X Ỵ . X y = —— sin . U + xJ 1 + x 5. Tính f'(l) P'O)’ biết rằng f(x) = X2 và (x) = 4x + sin-^- Ta có: f(x) = 2x Giải f (1) = 2 ,/ \ A , u HA (p (x) = 4 + ^-cos-^- => (p (1) = 4 +jcosy Vậy f'(l) =2 p'(l) 4 6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a. y = sin6x + cos6x + 3sin2.cos2x . 2 I I, 2 I 7Ĩ . I 2 1 2ĩĩ I 2 ( 2tĩ. I - . - b. y = cos —■ — x + cos —+ x +cos —-X + cos —+ x -2sin2x u ) l 3 J l 3 J Giải a. y = sin6x + cos6x = 3sin2x.cos2x Ta có: sin6x + cos6x = (sin2x) +(cos2y = (sin2x + cos2x) (sin2x) •_ 2„ 2.. , í 2.. -sin x.cos x + lcos X = (sin2x) + (cos2x) -sin2xcos2x = (sin2x + cos2x) -2sin2xcos2x -sin2xcos2x = -l-3sin2xcos2x => y = l-3sin2xcos2x + 3sin2x.cos2x =1 (71 ^71 s , ì , ì —-X sin —■ -X -2cos _ +x sin _+x <3 J <3 ) 13 } Suy ra: y’ = 0 (đpcm) b. y' = 2cos f 2ĩi ( 2n ( 2k 2rc .. !_•_[ 2tt ~__Í2íi . ì . f 2tt I + 2cos —--X sin —--X -2cos —- + x sin -—+ x -4sinxcosx l 3 7 I 3 J 13 J I 3 } ( 2k —-2x -sin (2ĩĩ + sin f471 o,? —-2x . f 471 ì -sin -^- + 2x l 3 J l 3 ■ J l 3 J <3 J = sin - 2sin2x = - 2cos—sin2x - 2cos — sin2x - 2sin2x 3 3 = sin2x (1 +1 - 2) = 0 (đpcm) 7. Giải phương trình f(x) = 0, biết rằng: a. f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x b. f(x) = l-sin(7i + x) + 2cos 2n + x 2 Giải f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x f'(x) = -3sinx + 4sinx + 5 f' (x) = 0 -3sinx + 4sinx + 5 = 0 X = a + -^ = k2ĩi 2 (keZ) ^271 + x 2~ cosx - sin = 0 f(x) = l-sin(7i + x). X . cosx + sin^ = 0 2 +2cos 2n + x f(x)= 0 (1) Đặt u = -7- => X — 2U 2 Khi đó: (1) cos2U + sinU = 0 sin u = 1 sin u = - — 2 1 - 2sin2U + sinU = 0 U = Ị + k27i 2 sinU = sin 71 6 Ú = Ị + k27ĩ 2 U = -Ị + k27C 6 X 71 , , „ ■7- = - -7 + k27ĩ 2 6 X = 71 + k27l X - -^ + k27T 3 X = - k27T 3 X , 71 , _ ■9 = 71 + ~ - k27ĩ 2 6 X = 71 + k47ĩ v = (keZ) X = —7- + k47t 3 8. Giải bất phương trình f(x) > g’(x), biết rằng: X3 +X-V2, g(x) = 3x2 +X + V2 a. Giải Ta có: f(x) = 3x2 + 1; g’(x) = 6x + 1. f(x) > g’(x) 3x2 + 1 > 6x + 1 3x2 -6x>0 => X 2 Ta có: f (x) = 6x2 - 2x ; g’(x) = X3 + X. f(x) > g’(x) 6x2 - 2x > X3 + X 3x2 - 3x > 0 o X G (-co; 0) u (1; +co)