Giải bài tập Toán 11 Bài 4. Cấp số nhân

  • Bài 4. Cấp số nhân trang 1
  • Bài 4. Cấp số nhân trang 2
  • Bài 4. Cấp số nhân trang 3
  • Bài 4. Cấp số nhân trang 4
Bài 4
CẤP SỐ NHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Định nghĩa
Dãy số (un) hữu hạn hoặc vô hạn được gọi là cấp sô' nhân nếu: Un+1 = unq V n
trong đó hằng số q * 0 được gọi là công bội của cấp sô”.
Tính chất của câp số cộng
Nếu (un) là cấp sô' nhân với công bội q * 1 thì:
un = Uiq""1
u; = uk_,.uk+l Vk>2
u,(l + q")
1-q
Sn = U1 + u2 + ... + un = — 	i—
B. GIẢI BÀI TẬP
là các cấp số’ nhân.
Chứng minh các dãy sô' I 4-2
Giải
Để chứng minh dãy (un) là câ'p sô' nhân thì ta chứng minh: Un+1 - un.q với n e N
_ ọ11 + 1
~	ni
Xét =4—=-
u
— = 2 2"
(q là công bội cấp sô' nhân)
?n '	4.2'’ ■	“
5
= un.2. Vậy un là cấp số nhân với công bội q = 2
Với n e N’ => un > 0
5
V-. lỊn-l = 2'1 _ 2'1 _ 2n 1	_	1
un 5	211*1 2n,2' 2	u,,+' 11,1 2
2"
Vậy (un) là cấp sô' nhân với công bội q = -—
Vậy (un) là cấp sô' nhân với công bội q = -y Vn e N*
Cho cấp sô' nhân (un) với công bội q
Biết U1 = 2, u6 = 486. Tìm q
, T.2	8	_
Biết q = —, U, =-—. Tìm U1
3 4 21
Biết U1 = 3, q = -2. Hỏi sô' 192 là sô' hạng thứ mấy?
Giải
Theo công thức un = Ui.q11-1, thay n = 6 ta được:
u6 = Ui.q5 = 2.q5 = 486
q5 = 243 = 35 => q = 3
, „	-	4-1 _8	„	8 f3Ỹ_27_9
Ta có: u4 = Ui.q = — => U. =-—. — = — = _ .
21	1 21(2; 21 7
Biết U1 =3, q = -2. Hỏi sô' 192 là sô' thứ mấy?
Ta có: un = Ui.qn_1 = 192
=> qn_1 = — = IỊ2 = 64	(_2)" ,(_2)_1 = 64.(-2) = 128
(-2)” =-128 = (-2)7	=>n = 7
Vậy sô' 192 là sô' hạng thứ 7.
Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:
a. u3 = 3 và u5 = 27
b. U4 - U2 = 25 và u3 - U1 = 50.
Giải
a. Ta có: un = Uj.qn 1
u3 =U|.q2 =3
u5 = Uị.q4 - 27
íq2
= 9
Vậy q = ± 3.
+ Cấp số nhân (un) có công bội q có thể viết dưới dạng: U1, Uiq, U1 q2;Ui.q"-1
Với q = 3 ta có cấp số: y-, 1,3,9,2 7
Với q = -3 ta có cấp số: - 1, 3, - 9, 27
b. <
U4 -u2 = 25
u3 — U| = 50
Uị.q3 -Uị.q = 25
urq2 -U| =50
u,q(q2-l) = 25
u,(q2-l) = 50
1
_ w	„	200. 100. 50. 25. 25
Vậy năm sô hạng là: ——;——;——;——;—— 3	3	3	3	6
4. Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số’ hạng sau là 62.
Giải
Gọi U1, u2, u3, u4, u5, u6, là cấp số nhân của 6 số hạng.
+ Tổng của 5 số hạng đầu là 31 và 5 số hạng sau là 62, nghĩa là: Íul+u2+u3+u4+u5=31 (1)
u2+u3+u4+u5+u6 =62 (2)
Ta có: (2)-(1)<»u6-ui =31
Mà: u6 = Upq6'1 = urq5
=>ulq5-ul=31 o U| (q5 —1) = 31	(3)
Mặt khác, tổng của 5 số hạng đầu là:
ujq5-!)	 31
S5 = ————- = 31 (4) . Thay (3) vào (4) ta được - =31
q-1	■ q-1
=> q -1 = 1 => q = 2. Tính ra ta được U1 = 1.
Với un = Ui.q11 1
=> U, = 2, u3 = 4, u4 = 8, u5 = 16, u6 = 32
Vậy cấp sô' nhân cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng dân sô' của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì dân sô' của tỉnh đó tăng bao nhiêu?
Giải
Theo tỷ lệ tăng dân sô' 1,4% thì dân sô' hàng năm của tỉnh X là các sô' J 	.	14
hạng của cấp sô nhân với công bội q = 1 + ——— = 1.014.
1000
Và sô' hạng đầu U! = 1,8 triệu
Theo công thức: un = Ui.q11-1
=> Dân sô' của tỉnh X sau 5 năm sau là: u6 = 1,8.(1.014)5 —1.9 triệu (người)
Vậy dân sô' sau 10 năm là: Un = l,8.(l.O14)10 =2,1 triệu (người).
Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bôn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C1 (hình bên). Từ hình vuông c2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3... Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông c2, c2, C3,..., cn.
Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy sô' (an) là một câ'p sô' nhân.
Giải
Cạnh của hình vuông C1 là: ax = 4 (giả thiết)
Cạnh hình vuông thứ hai: c2 = a2 = a/12 + 32
Cạnh hình vuông thứ ba:
Theo giả thiết cạnh hình vuông chia thành 4 phần bằng nhau nên theo định lí Pi-ta-go (Pythagore), ta có:
Tổng quát cạnh của Cn+1 là: M2+fe-i = an.^ VneN’
J I a J n 4
Vĩõ Vậy dãy sô' (an) là cấp số nhân với sô' hạng đầu U1 = 4, công bội q = —