Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Bài 2
HOÁN VỊ - CHỈNH Hộp - Tổ HỢP
KIẾN THỨCCẦN nẩm Vững
Hoán vị
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Định lí: số Pn các hoán vị khác nhau của n phần tử là: pn = n(n - l)(n - 2) ... 2.1 = n!
Chỉnh họ’p
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 1). Việc lấy k phần tử của A (0 < k < n) và sắp xếp chúng theo một trật tự nào đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Định lí: Số’ Ak các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
Ak = n(n - l)(n - 2) ... (n - k + 1) =
(n-k)!
Tổ hựp
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 1). Mỗi tập hợp con gồm k phần tử (0 < k < n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Định lí: Sô' ck các tổ hợp chập k của n phần tử là:
Ck = n! =
n k!(n-k)! k!
Các tính chất:
Tính chất 1: Với 0 < k < n thì ck = C‘J'k
Tính chất 2: Với 1 < k < n thì CkJ + ck_l = CỊ'
GIẢI BÀI TẬP
Từ các chữ số’ 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số’ tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:
Có tất cả bao nhiêu số?
Có bao nhiêu sô' chẵn, bao nhiêu sô' lẻ?
Có bao nhiêu sô' bé hơn 432.000?
Giải
Đặt A = {1;2;3;4;5;6}
Tập hợp A gồm 6 phần tử. Để lập được số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau thì mỗi sô' như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 6 của 6 phần tử.
Vậy sô' các sô' đó là: A, = 6' = 6! = 720 (số)
6 (6-6)!
l. * Cách 1
Sô' chẵn là các sô' tận cùng 2; 4; 6
Gọi sô' chẵn 6 chữ sô' khác nhau là abcdef
Với f = 2; 4; 6, nên có 3 cách chọn f (f a,b,c,d,e)
Có 5 cách chọn chữ sô' a;
Có 4 cách chọn chữ sô' b (b a);
Có 3 cách chọn chữ sô' c (c Ý- b, a);
Có 2 cách chọn chữ sô' d (d a, b, c);
Có 1 cách chọn chữ sô' e (eí a, b, c, d).
Vậy theo quy tắc nhân có: 3.1.2.3.4.5 = 3.5! = 360 (số).
* Cách 2
Với f = 2, 4, 6 có 3 cách chọn f
a, b, c, d, e f nên có Aj - 5! cách chọn.
Vậy sô' cách chọn: 5!.3 = 360 cách.
2.
Gọi sô' lễ có 6 chữ sô' ajbjCid^f,
Ta có: fi = 1, 3, 5 nên có 3 cách chọn ai, bj, C1, di, ei * fị nên có Aj cách chọn.
Vậy ta có: 3.5! = 360 số.
Để có một sô' có 6 chữ sô' khác nhau lập từ 6 chữ sô' trên và nhỏ hơn 432.000 ta có thể:
Chọn chữ sô' hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4: có 3 cách chọn.
Với 5 chữ sô' còn lại có 5! cách chọn. Sô' các sô' như vậy là: ni = 3 X 5! = 360 sô'.
Chọn chữ sô' đầu là 4, chữ sô' thứ hai nhỏ hơn 3 và 4 chữ sô' còn lại. Sô' các sô' như vậy là:
n2 = 2 X 4! = 48 sô'.
Chọn hai sô' đầu là 43 và chữ sô' thứ 3 nhỏ hơn 2:
Sô' các sô' như vậy là:
n3 = 3! = 6 số.
Vậy sô' các sô' nhỏ hơn 432.000 là:
n = ni + n2 + n3 = 360 + 48 + 6 = 414 sô'.
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế kê thành một dãy?
Giải
Cứ 10 người có 10 cách sắp xếp vào một ghế.
Vậy số’ cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế kê thành một dãy là số hoán vị của 10 người.
P10 = 10! = 3.628.800.
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
Giải
Số' cách chọn 3 bông hoa trong bảy bông là C,
Cứ 1 cách chọn 3 bông hoa thì ta được số cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ là hoán vị 3 bông hoa đó: p3 = 3! = 6 (cách)
Vậy có Óị cách chọn 3 bông hoa thì có C7.6 — 210 cách cắm ba bông hoa vào 3 lọ.
Có bao nhiêu cách mắc nôì tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Giải
Số cách chọn 4 bóng đèn trong 6 bóng đèn Cg cách.
Cứ 1 cách chọn như vậy ta có hoán vị của 4 bóng đèn tức là ta được p4 = 4! cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn.
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:
Các bông hoa khác nhau?
Các bông hoa như nhau?
Giải
Gọi 5 lọ hoa lần lượt là 11, Ỉ2,13, I4,15
Vì mỗi lọ cắm không quá một bông hoa vào 11, I2, I3 và I4, I5 không cắm thì ta được một cách.
Khi cắm 3 bông hoa vào Ỉ2, I3, I4 thì 11,15 không cắm: được 1 cách
Cứ như vậy số' cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Ta có: A, = ——— = 60 (cách).
(5-3)!
Vì 3 bông hoa như nhau nên số cách cắm 3 bông hoa clìo mỗi lọ là như nhau. Vậy số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là:
C5 = .,/’--77 = 10 (cách).
5 3!(5-3)!
Trong mặt phẳng, có 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Giải
Cứ nốì 3 điểm không thẳng hàng với nhau thì tạo thành một tam giác.
Vì trong mặt phẳng có sáu điểm nên số’ tam giác có thể lập được là:
C5 -	= 20 (tam giác)
5 3!(6-3)!
Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bôn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?
Giải
Cứ hai đường thẳng trong 4 đường thẳng hợp với 2 đường trong 5 đường thẳng vuông góc với chúng tạo thành một hình chữ nhật.
Có C4 cách chọn 2 đường trong 4 đường thẳng song song thứ nhất.
Có C2 cách chọn 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc với
các đường thẳng trên. Vậy sô’ hình chữ nhật được tạo thành là:
",	4.3 5.4
n = C4.C5 = 2—= 60 (hình).
4 5 1.2 1.2