Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương IV
ÔN TẬP CHƯƠNG IV Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và giới hạn đặc biệt của hàm số’. Giải Xem phần tóm tắt lí thuyết (SGK) Cho hai dãy số' (un) và (vn). Biết |un -2| < vn với mọi' n và limvn = 0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy sô' (un)? Giải lim vn = 0 nghĩa là cho sô' E dương nhỏ tùy ý bắt đầu từ sô' no nào đó |vn I n0. Theo định nghĩa lim (un - 2) = 0. Do đó: lim u = 2 .77.0 n n->+8 Tên một học sinh được mã hóa bởi sô' 1530. Biết rằng mỗi chữ sô' trong sồ' này là giá trị một trong các biểu thức A, H, N, o với A = lim ——H = lim ỉ ựn2 +2n -nì n + 2 V / NT-i^Vn-2 _ 3"-5.4" N = lim —— o = lim ——-— 3n + 7 1-4" Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ sô' trên bởi các chữ ký hiệu biểu thức tương ứng. A = lim Giải 3n-l n + 2 n2 + 2n - n -n + n N = lim-7—-4 3n + l n-4 = lim — n = lim 4n 3n-5.4n o = lim . • = lim— 1 —4r 4n 3 ] 4; T 4n -5 —=4 = lim j 4J 1 4n-1 Khi thay đổi chữ sô' 1530 bởi các biểu thức giới hạn tương ứng ta được chữ HOAN là tên các bạn học sinh đã cho. a. Có nhận xét gì về công bội của các cấp sô' nhân lùi vô hạn? Cho ví dụ về một cấp sô' nhân lùi vô hạn và có công bội là sô' âm và một cấp sô' nhân lùi vô hạn có công bội là sô' dương và tính tổng của các cấp sô' nhân đó. Giải Cấp số nhân vô hạn với công bội q mà |q| < 1 là cấp sô' nhân lùi vô hạn. Ví dụ cấp sô' nhân vô hạn có công bội âm: 1,-7-,4,- 4 V 2 4 8 2-1 Tổng của cấp số nhân này là: s = —ỉy = 1+2 Ví dụ cấp số nhân lùi vô hạn công bội dương: Ị 2 Sô' hạng đầu là 7 , công bội q = 7 4 Tổng của cấp sô: s = —4“ 1-ị 3 , x2+5x + 6 b. lim 7—— Tìm các giới hạn sau: .. x + 3 lim-^4 - c. lim X—>4” 2x-5 x-4 e. lim x->-“ 3x -1 Vx2 -2x + 4 - x lim ; • — 3x-l Giải x + 3 2+3 1 lim— - = , = — x^2x2+x + 4 22+2 + 4 2 , x2+5x + 6 (x + ^)(x + 2) x + 2 -3 + 2 1 lim —r—z— = lim ■ .■ - = lim = ——- = -7 x->-3 X +3x x~>-3 x(x + 3) x->-3 X -3 3 !• 2x-5 2.4-5 3 </1-1 lim ——7- = —-—7- = — = -00 (vì X - 4 4 ) x-»4- x-4 4-4 0 X X' X ) d. lim i-x3 +x2 -2x + l) = lim(-l).(x36) Y—++00 X ' x ' e. lim * + 3- = lim x->-«3x-l x->-« = lim x_ 3-1 3 X f. lim 7x2-2x + 4- 3x-l X2 = lim l+? 3x-l = lim d. lim (-X3+ x2-2x + l x->+co X /> 1. • /•/ \ l-x , _/.\ X' +x +1 Cho hai hàm so I ^XJ = —-— và g(xj = ——5 a. Tính lirnf(x), limg(x), limf(x), lim g(x x-»0 v ' x->0 v ' x^++=0 v Hai đường cong dưới đây là đồ thị của hai hàm sô' đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó. Giải (vì X2 > 0 với mọi X 0) X2 lim (x)= lim -— X-»+00 ' 7 X—>+cO .. / 1. X3 +x2 +1 lim g(x)= lim X—>+co ỵ 7 X->+00 lim 4 = +00 (vì X2 > 0 với mọi X 0) 0 x2f-4--i kx _____ — X = lim £■’ X-♦+«> Ị = lim x + X2 = lim ——7 x->+0° X = +co b. Hình b) cho thấy y —> -1 khi X —> +CO 1-X2 X2 Điều này phù hợp với kết quả lim f (x) = -1 Vậy đường cong trong hình b) là đồ thị của hàm y = f(x) = . . , x X3 +x2 +1 Còn lại hình a) là đồ thị hàm sô y = g(x) = 2 X X2 -x-2 x-2 5-x Xét tính liên tục trên R của hàm số: g(x) = Giải * Ta có: g(2) = 5-2 = 3 x2-x-2 (x-2)(x lim g(2) = lim — = lim ——-^4 ’ x->2‘ x-2 x-»2* x-2 lim = lim (5-x) = 5-2 = 3 .. . .. K n- ' ' Từ kết quả trên ta thấy: lim g(x) = lim g(x) = g(2). Vậy hàm số g(x) x->2+ x->2 liên tục tại X = 2. X2 — X — 2 * Hàm số g(x) liên tục trên R vì — liên tục với X > 2 và 5 - X liên tục với X < 2. Chứng minh rằng phương trình X5 - 3x4 + 5x - 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5). Giải Đặt f(x) = X5 - 3x4 + 5x - 2 =>f(-2).f(-l)<0 f(-2) = 4>0 f(-l) = -ll<0 ’ fix) là hàm số đa thức liên tục trên R, nên liên tục trên (-2; -1) => Phương trình fix) = 0 có ít nhất một nghiệm Xo e (-2; -1) Tương tự ta có: fl-l).f(l) < 0 và f(l).f(2) < 0 nên phương trình fix) = 0 có ít nhất một nghiệm e (-1, 1) và (1, 2). Vậy phương trình X5 - 3x4 + 5x - 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong (-2; 5). BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG IV Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? Một dãy sô' có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm. Nếu (un) là dãy sô' tăng thì limun = 4-00 . Nếu limun = 4-00 và limvn =+co thì lim(un -vn) = 0. Nếu un = a11 và -1 < a < 0 thì limult = 0. Giải (-l)n , , (-1)” Sai. Ví dụ -—— không tăng không giảm nhưng lim-—— = 0 n n I Ị Sai. Ví dụ dãy sô' un = ——, n e N* là dãy sô' tăng nhưng limun = 1. n Sai. Ví dụ dãy sô' (un) với Un = n, dãy sô' vn = Vn limun = 4-00, limvn =4-00, lim(un = vn) = 4-co Vậy mệnh đề D đúng. z 1 + 2 + 3 + ... + n 2. Cho dãy sô (un) với un = n2 +1 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. limu =0 B. limu„ = 2- n 2 D. Dãy (un) không có giới hạn khi n -> +00. Giải c. limu = 1 Ta có: u n2 +n Do đó: limun - lim 2 + 4 n 3. Dãy (un) với un = V2 + (V2 y = — . Vậy mệnh đề B đúng. (M Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: ĩ A. limun = a/2+(V2) 1-V2 B. limun = -00 c. limun = +00 D. Dãy số (un) không có giới hạn khi n —> +8 Giải u.=75+(75)2 «= 2-1 -1 = +00 Vậy mệnh đề c đúng. t 1- “3x-l 4. lim—— bâng: X —1 A. -1. B. -00. c. -3. Giải D. +00. = +00 1-1 0 -3x-l -3-1 Ta có: lim ——— = Vậy mệnh đề D đúng. 5. Cho hàm số: f(x» = ¥ . lim f (x) bằng: A. +00. B. 1. c.-00. D.-1. Giảỉ 1-x2 f 1 A 1 Ta có: lim f (x)= lim -—— = lim —-X = lim — - lim X =+co x->-co v 7 X—>--co^x y x->-00 X x->-co Vậy mệnh đề A đúng. 3-x , r-— . (x 3) Cho hàm số’: f(x) = ^Vx + l-2 Im (x = 3) Hàm số đã cho liên tục tại X = 3 khi m bằng bao nhiêu? A. 4. B. -1. c. 1. D. -4. Giải (3-x)(Vx + l +2) -(Vx+1 + 2) Ta có: limf (x) = lim —- = lim = -4 x->3 ' 7 x->3 x-3 x->w 1 Vậy mệnh đề A đúng. Cho phương trình: -4x3 + 4x - 1 = 0. (1) Mệnh đề sai là: Hàm số’ f(x) = -4x3 + 4x - 1 liên tục trên R. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (-00; 1). Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (-2; 0). ■ , 1' D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng -3;— Giải Đặt ftx) = -4x3 + 4x - 1 Xét f(-2) = -4.(-2)’+4.(-2)-l>0 f(x) là hàm đa thức, liên tục trên R. => phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm e (-2, 1). => Rx) có ít nhất một nghiệm e (-co; 1). Vậy mệnh đề B sai.