Giải bài tập Toán 11 Bài 1. Hàm số lượng giác

Chương I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Định nghĩa
Hàm, sô sin và hàm số cosin
Với mỗi số’ thực X có điểm M duy nhất trên đường tròn lượng giác sao cho số đo cung AM bằng X (rad)... Khi đó tung độ của M là OP gọi là sinx, hoành độ của M là OQ là cosx.
Quy tắc tương ứng với mỗi sô' thực X với số thực sinx được gọi là hàm số y = sinx.
Quy tắc tương ứng với mỗi số thực X với số thực cosx được gọi là hàm số y = cosx.
Hàm số sin và hàm số cosin đều có tập xác định là tập số thực R lấy mọi giá trị trên đoạn [-1; 1], hàm số’ sin là hàm số’ lẻ, hàm số cosin là hàm số chẵn.
Hàm số tang và hàm số cotang
sin X
Hàm số y =	(cos X * 0) gọi là hàm số tang, kí hiệu y = tanx.
cos X
Tập xác định: D = R\
+ kit, k e z
2
■, lấy mọi giá trị thuộc R, là
hàm số lẻ.
Hàm số y = cos - (sin X * 0) gọi là hàm số’ cotang, kí hiệu y = cotx. sin X
Tập xác định: D = R\{kĩr,k e z}, lấy mọi giá trị thuộc R, là hàm số lẻ.
Tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác
a. Hàm số tuần hoàn
Hàm sô' y = f(x) có tập xác định D được gọi là tuần hoàn nếu có số
T / 0 sao cho:
* Vx e D thìx-Te Dvàx + Te D
* Vx eD thì fix + T) = fx)
Sô' T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là chu kì của f(x).
b. Tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác
Định lý:
Hàm SỐ’ y = sinx và hàm sô' y = cosx là các hàm sô' tuần hoàn có chu kì 27t.
Hàm sô' y = tanx và hàm sô' y = cutx là các hàm sô' tuần hoàn có chu kì 7C.
Sự biến thiên của hàm sô' lượng giác
Do tính chất tuần hoàn của hàm sô' lượng giác, để xét sự biêh thiên của chúng, ta chỉ cần xét sự biêh thiên của mỗi hàm sô' trong một chu kì rồi suy ra trên toàn tập xác định của nó.
GIẢI BÀI TẬP
1. Hãy xác định giá trị của X trên đoạn
a. Nhận giá trị bằng 0.
Nhận giá trị dương.
J7I
-7C;-—
2
b. Nhận giá trị bằng 1.
Nhận giá trị âm.
để hàm sô' y = tanx:
Giải
a. y = tanx nhận giá trị bằng 0
Vì xe -71;—1
2
nên ta có:
x = -7T => tan(-Tĩ) = 0	(thỏa)
[	71 )
X = ±— => tan ±7- không xác định
2 l 2)
X = 0 => tan(O) = 0	(thỏa)
X = 71 => tan (71) = 0
(thỏa)
371
-7- => tan
2
^371^
J",
không xác định
Vậy xnhận các giá trị |-7r; 0; 71} b. y = tanx nhận giá trị bằng 1
=> tan X = 1 => X
= ^ + k7T (k 6 z)
Vì xe
3tt
-7t; —-
2
71
Chọn k = 0 => X = —
(thỏa)
(thỏa)
(thỏa)
, _ ~	_ 971
k = 2 => X = — ỊẼ
4
371
Vậy X nhận giá trị
371 7T 57C
T;4;T/
c. Hàm sô' y = tanx tuần hoàn với chu kỳ 71
- 371
- Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn
-7r;——
2
, hàm sô' y = tanx
71
-71;- — ,
2
J7T
7ĩ;—-
2 )
d. Từ đồ thị trên, hàm sô' y = tanx nhận giá trị âm khi trên các khoảng: f-~;ol và
l 2 J
nhận giá trị dương trên các khoảng
71
2
2. Tìm tập xác định của hàm số:
1 + cosx
a. y = ■
sinx
b. y =
1 + cosx l-cosx ’
7T
c. y = tan X--7-
1 + cosx >
1 - cosx
1 - cosx * 0 k
b. Hàm số y =
(1 + cosx)(l - cosx) >0 Vx e R [cosx 5*1
=> Tập xác định D = R \ {k2jt, ke z
• r n
z x sin X-77
3,
71
X--T
3
71
c. y = tan X- —
I 3
cos
71	, A
COS x-~ * 0
I 3 J
xác định khi:
71
X k2ĩr, k e z
571
7Ỉ I	71	,	,	371	.	,	_
X - —	—	+	K7I, X	— + K7Ĩ,	k	e	z
3 J	2	6
2
5tt
=> Tập xác định: D = R \ -7- + k7T, k e z I 6
, 	 7C
d. y = cot X + — .
I 6
Giải
"I" cosx
y = —7—— (Hàm số’ xác định khi sinx 0) sinx
Tập xác định D = R \ Ịx |sinx = oỊ = R \ {k7i, k e z}.
1 + cosx
	 xác định khi <
1 - cosx
d. y = cot X
I 6
71 ì
xác định khi sin X + -—	0
l 6
71	-
Tập xác định D = R \ 5 — -7 + k7ĩ, k e z >.
6
Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm sô' y = |sinx|.
Giải
Hàm số y = sinx có chu kỳ 2 71.
Đồ thị:
Từ đồ thị hàm số y = sinx ta lấy đối xứng qua trục Ox các phần đồ thị trên đoạn [71 + k27i; 2n + k2m], giữ nguyên phần đồ thị còn lại (keZ), thì đó chính là đồ thị hàm số y = |sin xỊ.
Chứng minh rằng sin2(x + k7i:) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm sô' y = sin2x.
Giải
Ta có: sin 2 (x + k7ĩ) = sin(2x + k27i) = sin 2x, (k e Z)
Hàm sô' y = sin2x là hàm sô' tuần hoàn với chu kỳ n và là hàm sô' lẻ.
Cho x = o=>y = o, x = ±—=>y = ±l
■	4
x = ±— =>y = 0, x = ±—=i>y = 4-l
2	4
X - ±71 => y = 0
Dựa vào đồ thị hàm sô' y = cosx, tìm các giá trị của X để cosx = 4..
Giải
Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx:
Để COSA'= — thì đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm sô' y = cosx, hoành độ giao điểm giữa y = cosx và y = y là:
cos X = 4 = cos X = ±^ + k2ĩĩ (k e z)
2	3	3 v 7
Vậy X nhận giá trị X = ±y + k27ĩ (k e z).
Dựa vào đồ thị hàm số' y = sinx, tìm các khoảng giá trị của X để hàm số đó nhận giá trị dương.
Giải
Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, để hàm sô' nhận giá trị dương thì: X G (-2tt; -7i); (0;ĩt); (27i;3tt)...
hay X G (k27i;7i + k27r)với k e R .
Dựa vào đồ thị hàm sô' y = cosx, tìm các khoảng giá trị của X để hàm sô' đó nhận giá trị âm.
Giải
Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, để hàm số nhận giá trị âm thì:
( 3ti 71Y (71 3ti 'ì , _ .. f 7t , ,,	3tI , „	,
X e -77-; “ ; T-; -7- — hay X e Y + k27i; —ý- + k27ĩ , k 6 z < 2 2j <2 2 J 1.2	2	)
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số’:
y = 2ựcosx +1	b. y = 3-2sinx.
Giải
y = 2 y/cosx +1
Vì -1<COSX<1 (VxeR)
=> 0 0 < 2ựcosx < 2
=> 1 1 < y < 3
=> ymax = 3 Vcosx = 1 cosx = 1
 X = k27T (k 6 z).
y = 3 - 2sinx
Ta có: -1 <sinx < 1 VxeR
 -2 	2 > -2 sin X > -2
 5 > 3-2sinx > 1	l<y<5
=> ymax=5	sinx = -l
 X =-^ + k27T (k e z)