Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

  • Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 1
  • Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 2
  • Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 3
  • Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 4
  • Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 5
  • Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản trang 6
Bài 2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẢN
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Phương trình sinx = a (1)
Nếu |a| > 1 thì (1) vô nghiệm.
Nếu |a| < 1 thì (1) có nghiệm.
Khi đó: sinx = a
X = a + k27ĩ, k G z
X = 7T - a + k27i, k e z
hoặc sinx = a
Trong đó a là số’ đo bằng rađian của cung lượng giác sao cho sin a = a x = p°+k360°, keZ
X = 180°-p°+k360°, kez
trong đó p° là số đo bằng độ của cung lượng giác sao cho sinP° = a.
Phương trình cosx = a (2)
Nếu |a| > 1 thì (2) vô nghiệm.
Nếu |a| < 1 thì (2) có nghiệm.
cosx = a X = ± a + k27T với cos a = a, k e z. hoặc cosx = a X = ± p° + k360° với cosP° = a, k G z. Nếu cosa = a thỏa 0 < a < n (hay cosp° - a, 0 < p° < 180°) thì a = arccosa (hay p = arccosa)
khi đó cosx = a «> X = ± arccosa + k2ĩr
hoặc cosx = a X = ± arccosa + k360°
Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện X	—• + k7i (k e z)
2
tanx = a X = a + k7t, k e z
nếu tan a = a và —4 < a < 4 thì a = arctana
2
khi đó tanx = a X = arctana + k7i, k G z
Công thức nghiệm tương tự trong trường hợp số đo bằng độ.
Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện X k7i, k e z
cotx = a X = a + k7T, k e z
Với cot a = a hoặc cotx = a thì X = arccota + k7i, k G z
= a và 0 < a < 71, k e z.
b. sin3x =1
Với a = arccota thì cot a
B. GIẢI BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau: a. sin(x + 2) = ^;
c. sin
2x 7T
= 0;
d. sin
/3
2
Giải
X + 2 = arcsin 4 + k27T, k G z
3
X + 2 = 71 - arcsin Ậ + k27T, k 6 z
3
X = arcsin-r-2 + k27i (keZ)
3
X = 7t -arcsin^-2 + k27i (k G Z)
b. sin3x = 1 sin3x = sin —
2
. r 2x c. sin ——
71
3 i
3x = -^ + k27ĩ (k G z) x.í+^(kez)
^-Ị = k7i, keZ
3	3
= + k7i, k G z
3	3
7T , 3k7ĩ /,
x = M(keZ)
d. sin
v 7	2
 sin(2x + 20°) = sin(-60°) F2X + 2O0 = -60° + k360°
2x+ 20° = 180°+60°+k36Ọ° (keZ)
2x = -80°+k360°
2x = 220°+k360°
X = -40°+ kl80°	_
„ . _ „ (k G Z)
X = 110°+kl800
2. Với những giá trị nào-của X thì giá trị của các hàm số’ y = sin3x và y = sinx bằng nhau?
Giải
Ta CÓ: sin3x = sinx
3x = x + k27i
3x = 71 - X + k27t
3. Giải các phương trình sau:
7	2
a. cos(x-l) = y
c. cos
3x 71
T_4
X = kĩĩ
_ 71 k7c (k e z)
X =_ + ^2LI
4 2
b. cos3x = cos 12°
d. cos 2x = —
4
Giải
, „
 X -1 = ± arc cos — + k27T, k e z
3
. , „
 X = 1 ±arccos-9 + k27t, keZ
3
cos3x = cosl2°
«3x = ±12°+k360°, keZ
 x = ±4° +kl20°, keZ
3x 71	271	„
»--7= _ +k27T
2 4 3 z. _ 7ỵ ■Z J <k G z) 3x 71	271 , , „
+ k27T
llĩt , k4n
18	3
571 . k47i
(keZ)
18	3
f3x
7T
1
( 3x
71^1
—
—
—	<_
cos —-
12
4>
2
l 2
_4j
c. cos
271
= cos—-
3
cos2x = 4
2
cos2x =-
cos2x = cos—
_ 271 cos2x = cos—-
3
±^ + k27i
I (keZ) 2x = ±44 + k27T
3
2x =
, 71 , .
X = ± —+ k7I
keZ
6 71 , ,
X = ±_+k7I L 3
Giải phương trình ~LOS~' - 0
1 - sin2x
Giải
2cos2x
-—-7-"^— - 0 (Điều kiện: sin 2x^1) 1 - sin2x
f cos2x = 0 l-sin2x 5* 0
Ta có: cos2x = 0 2x = ±^- + k27ĩ
2
, 71	,	,	_
X = ±—+ K7I, keZ
4
Với x = —+ k7ĩ => 2x = —+ k27T
4	2
=> sin2x = sin —+ k27ĩ
I 2
= 1, vi phạm điều kiện sin 2x^1, do
71
đó ta loại nghiệm X = -ị + k7ĩ của phương trình cos2x = 0.
Vậ 2cg^ = 0
1 - sin2x
5. Giải các phương trình sau:
X =	+ k7i, k G z
4
ă/3
a. tan(x - 15°) = —7- 3
c. cos2x.tanx = 0
d. sinSx.cotx = 0
Giải
a. tan (x-15°) = -^- = tan 30°
« x-15° = 30°+kl80°, keZ «x = 45°+kl80°, keZ
. I 571 cot(3x-l) = cotl
«3x-l=ạ
6
cos2x.tanx = 0
571 , 71
—r + k^r, k e z
18	3
cos2x = 0
tanx = 0
2x = ^ + krt
2
X = k7i
x = -y + k-7- ,
4	2 ke z
X = k7i
d. sin3x.cotx = 0
sin3x^- = 0 (1)
sinx
Điều kiện: sinx 0 X k7i, (k G z)
sin3x = 0
(1)
sin X * 0
k7ĩ
X = ---, k e z
3
cosx = 0
6. Với giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số’ y = tan
71
—-X
4
và
y = tan2x bằng nhau?
Giải
— ..In ì
Ta có: tan — - X = tan2x
4
2x =	- X + k7T
4
 3x =-^ + k7T
4
7. Giải các phương trình sau:
a. sin3x -cos5x = 0;
71 k7ĩ 7“ + ~~, 12 3
b. tan3x.tanx = 1.
Giải
a. Ta có: sin3x - cos5x = 0	 cos5x = sin3x
. (71 , .
sin —- + 5x = sin3x
12 J
^ + 5x = 3x + k27ĩ
2
+ 5x = 7Ĩ - 3x + k27i L2
TI , .
X =	+ k7ĩ
4
« J (keZ)
X = -— + k-
L 16	4
b. Điều kiện: tan3x * 0, tanx * 0
Ta có: tan3x.tanx = 1 tan3x —
tanx
- cotx tan3x = tan — - X
V 2