Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẢN A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững Phương trình sinx = a (1) Nếu |a| > 1 thì (1) vô nghiệm. Nếu |a| < 1 thì (1) có nghiệm. Khi đó: sinx = a X = a + k27ĩ, k G z X = 7T - a + k27i, k e z hoặc sinx = a Trong đó a là số’ đo bằng rađian của cung lượng giác sao cho sin a = a x = p°+k360°, keZ X = 180°-p°+k360°, kez trong đó p° là số đo bằng độ của cung lượng giác sao cho sinP° = a. Phương trình cosx = a (2) Nếu |a| > 1 thì (2) vô nghiệm. Nếu |a| < 1 thì (2) có nghiệm. cosx = a X = ± a + k27T với cos a = a, k e z. hoặc cosx = a X = ± p° + k360° với cosP° = a, k G z. Nếu cosa = a thỏa 0 < a < n (hay cosp° - a, 0 < p° < 180°) thì a = arccosa (hay p = arccosa) khi đó cosx = a «> X = ± arccosa + k2ĩr hoặc cosx = a X = ± arccosa + k360° Phương trình tanx = a (3) Điều kiện X —• + k7i (k e z) 2 tanx = a X = a + k7t, k e z nếu tan a = a và —4 < a < 4 thì a = arctana 2 khi đó tanx = a X = arctana + k7i, k G z Công thức nghiệm tương tự trong trường hợp số đo bằng độ. Phương trình cotx = a (4) Điều kiện X k7i, k e z cotx = a X = a + k7T, k e z Với cot a = a hoặc cotx = a thì X = arccota + k7i, k G z = a và 0 < a < 71, k e z. b. sin3x =1 Với a = arccota thì cot a B. GIẢI BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau: a. sin(x + 2) = ^; c. sin 2x 7T = 0; d. sin /3 2 Giải X + 2 = arcsin 4 + k27T, k G z 3 X + 2 = 71 - arcsin Ậ + k27T, k 6 z 3 X = arcsin-r-2 + k27i (keZ) 3 X = 7t -arcsin^-2 + k27i (k G Z) b. sin3x = 1 sin3x = sin — 2 . r 2x c. sin —— 71 3 i 3x = -^ + k27ĩ (k G z) x.í+^(kez) ^-Ị = k7i, keZ 3 3 = + k7i, k G z 3 3 7T , 3k7ĩ /, x = M(keZ) d. sin v 7 2 sin(2x + 20°) = sin(-60°) F2X + 2O0 = -60° + k360° 2x+ 20° = 180°+60°+k36Ọ° (keZ) 2x = -80°+k360° 2x = 220°+k360° X = -40°+ kl80° _ „ . _ „ (k G Z) X = 110°+kl800 2. Với những giá trị nào-của X thì giá trị của các hàm số’ y = sin3x và y = sinx bằng nhau? Giải Ta CÓ: sin3x = sinx 3x = x + k27i 3x = 71 - X + k27t 3. Giải các phương trình sau: 7 2 a. cos(x-l) = y c. cos 3x 71 T_4 X = kĩĩ _ 71 k7c (k e z) X =_ + ^2LI 4 2 b. cos3x = cos 12° d. cos 2x = — 4 Giải , „ X -1 = ± arc cos — + k27T, k e z 3 . , „ X = 1 ±arccos-9 + k27t, keZ 3 cos3x = cosl2° «3x = ±12°+k360°, keZ x = ±4° +kl20°, keZ 3x 71 271 „ »--7= _ +k27T 2 4 3 z. _ 7ỵ ■Z J <k G z) 3x 71 271 , , „ + k27T llĩt , k4n 18 3 571 . k47i (keZ) 18 3 f3x 7T 1 ( 3x 71^1 — — — <_ cos —- 12 4> 2 l 2 _4j c. cos 271 = cos—- 3 cos2x = 4 2 cos2x =- cos2x = cos— _ 271 cos2x = cos—- 3 ±^ + k27i I (keZ) 2x = ±44 + k27T 3 2x = , 71 , . X = ± —+ k7I keZ 6 71 , , X = ±_+k7I L 3 Giải phương trình ~LOS~' - 0 1 - sin2x Giải 2cos2x -—-7-"^— - 0 (Điều kiện: sin 2x^1) 1 - sin2x f cos2x = 0 l-sin2x 5* 0 Ta có: cos2x = 0 2x = ±^- + k27ĩ 2 , 71 , , _ X = ±—+ K7I, keZ 4 Với x = —+ k7ĩ => 2x = —+ k27T 4 2 => sin2x = sin —+ k27ĩ I 2 = 1, vi phạm điều kiện sin 2x^1, do 71 đó ta loại nghiệm X = -ị + k7ĩ của phương trình cos2x = 0. Vậ 2cg^ = 0 1 - sin2x 5. Giải các phương trình sau: X = + k7i, k G z 4 ă/3 a. tan(x - 15°) = —7- 3 c. cos2x.tanx = 0 d. sinSx.cotx = 0 Giải a. tan (x-15°) = -^- = tan 30° « x-15° = 30°+kl80°, keZ «x = 45°+kl80°, keZ . I 571 cot(3x-l) = cotl «3x-l=ạ 6 cos2x.tanx = 0 571 , 71 —r + k^r, k e z 18 3 cos2x = 0 tanx = 0 2x = ^ + krt 2 X = k7i x = -y + k-7- , 4 2 ke z X = k7i d. sin3x.cotx = 0 sin3x^- = 0 (1) sinx Điều kiện: sinx 0 X k7i, (k G z) sin3x = 0 (1) sin X * 0 k7ĩ X = ---, k e z 3 cosx = 0 6. Với giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số’ y = tan 71 —-X 4 và y = tan2x bằng nhau? Giải — ..In ì Ta có: tan — - X = tan2x 4 2x = - X + k7T 4 3x =-^ + k7T 4 7. Giải các phương trình sau: a. sin3x -cos5x = 0; 71 k7ĩ 7“ + ~~, 12 3 b. tan3x.tanx = 1. Giải a. Ta có: sin3x - cos5x = 0 cos5x = sin3x . (71 , . sin —- + 5x = sin3x 12 J ^ + 5x = 3x + k27ĩ 2 + 5x = 7Ĩ - 3x + k27i L2 TI , . X = + k7ĩ 4 « J (keZ) X = -— + k- L 16 4 b. Điều kiện: tan3x * 0, tanx * 0 Ta có: tan3x.tanx = 1 tan3x — tanx - cotx tan3x = tan — - X V 2