Giải bài tập Toán 11 Bài 5. Xác suất của biến cố

Bài 5
XÁC SUẤT CỦA BIỂN cố
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử A là một biêh cố liên quan đêh một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng. Kí hiệu n( Q), n(A) theo thứ tự là số’ phần tử của không gian mẫu và số. phần tử của A. Ta gọi là xác suất của biêh cố A, kí hiệu P(A) là tỉ số’ sau:
P(A) = hA
n(Q)
Tính chát của xác suất
P(0) = 0, P(Q) = 1
Với biến cố A bất kì thì 0 < P(A) < 1
Định lí cộng xác suất
Nếu A và B là hai biến cô’ xung khắc thì: P(A u B) = P(A) + P(B)
Hệ quả: P(A)=1-P(A).
Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất
Hai biến cố (cùng liên quan đến một phép thử) A và B được gọi là độc lập nếu xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đêh xác suất xảy ra của biêh cố kia.
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi:
P(AB) = P(A).P(B)
B. GIẢI BÀI TẬP
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.
Hãy mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cố’ sau:
A: “Tổng số’ chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”
B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
Tính P(A), P(B).
Giải
a. Không gian mẫu gồm 36 kết quả đồng khả năng xuất hiện, được mô tả như sau:
Ta có: Q = {(i,j)|l<i,j<6|, trong đó i, j lần lượt là số' chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất và thứ hai, n(Q) = 36 .
b. A = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} => n(A) = 6
=>P(A) =
n(A) _ 6 _ 1
n(íl) 36 6
B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5,),(5,6),(6,5)}
=>n(B) = ll
^P(B) =
n(B)_11 n(Q)" 36
Có 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên 3 tấm.
Hãy mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên 3 tấm bìa bằng 8”
B: “Các số trên 3 tấm bìa là ba số' tự nhiên liên tiếp”
Tính p (A), p (B).
Giải
a. Không gian mẫu gồm 4 phần tử: Q-{1,2,3,4} =>n(Q) = 4
b. Các biến cố:
+ A = {1,3,4} =>n(A) = l
=*P(A) =
n(A) ĩ
n(Q) 4
+ B = {(1,2,3), (2,3,4)} => n(B)= 1
=> P(B) =
n (B) _ 2__ j_
n (n ) 4 ” 2
Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bôn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.
Giải
4 đôi giày tương ứng với 8 chiếc, do đó số’ cách chọn hai chiếc giày từ 4 đôi giày là: cị - 28 (cách)
Đặt P(A) là xác suất để chọn được hai chiếc để tạo thành một đôi trong 4 đôi:
=>p(A)=ấ
Gieo một con súc sẩc cân đốì và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình X2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:
Phương trình có nghiệm
Phương trình vô nghiệm
Phương trình có nghiệm nguyên.
Giải
Không gian mẫu khi gieo con súc sắc cân đốì và đồng chất:
Q = {1,2,3,4,5,6} =>n(Q) = 6
Đặt A là biêh cố: “con súc sắc xuất hiện mặt B chấm”: Xét: X2+bx+ 2 = 0 (1)
A = b2-8
a. Để phương trình (1) có nghiệm thì:
A>0 =>b>3
=> A = {3,4,5,6}=>n(A) = 4 
b. Để phương trình (1) vô nghiệm thì: Ab<2
=>P(A) =
n(A)_4_2
n(Q) 6_3
=>A = {l,2}=>n(A) = 2
=>P(A) =
n(A) _ 2 _ 1
n(Q)-6~3
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì P(A) = y
6
Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bôn con. Tính xác suất sao cho:
Cả bôn con đều là át
Được ít nhất là một con át
Được hai con át và hai con K.
Giải
Lấy 4 cây từ 52 cây (không kể thứ tự) là một tổ hợp chập 4 của 52 phần tử. Vậy số’ trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra:
n C-52
a. Đặt A là biêh cố' 4 cây lấy ra đều là át. Ta phải tính P(A):
- Vì 4 cây lấy ra đều là át nên số trường hợp thuận lợi cho A là:
mA=cf=l
Vậy P(A) = ^ = -^ «0,0000037 n Cj2
+ Đặt B là biến cố không có con át nào trong 4 con khi lấy ra
vậyP(B) = ậ
'-'52
+ Đặt c là biến cố có ít nhất một con át được lấy ra từ 4 con
c4
=>P(B) =1-P(b) =1-^ = 0,2813
C52
Đặt A1 là biến cố rút ra được hai con át và hai con K.
=> Sô’biến cô’ thuận lợi cho biến cô' A1 là: C26.C26
=>P(A,) = C-^C--^« 0,390156.
C52
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:
Nam, nữ ngồi đối diện nhau
Nữ ngồi đối diện nhau.
Giải
Có 6 cách xếp 2 nam, 2 nữ (không phân biệt hai nam với nhau, hai nữ với nhau). Có 4 cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau. Xác suất để nam, nữ ngồi đối diện nhau là:
p(a)44
Xác suất để nữ ngồi đốì diện nhau (hai nam cũng đối diện nhau) là:
P(B) = 1-P(A) = 1-| = 1
3 3
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
A là biến cố: “Quả lây từ hộp thứ nhất trắng”
B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”
Xem xét A và B có độc lập không?
Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Giải
a. Số phần tử của không gian mẫu là: 10 x 10 = 100
Số trường hợp lấy ra một quả cầu trắng ở hộp thứ nhất là 6
Số’ trường hợp lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ hai là 10. số trường hợp lấy ra quả cầu ở hộp thứ nhất trắng kết hợp với một quả cầu bất kỳ ở hộp thứ hai là 6 X 10 = 60.
p(A) = -^ = -ị = I
v 7 100 10	5
Số’ trường hợp lấy ra quả
cầu thữ hai trắng với một quả cầu bất kì ở
hộp thứ nhất là 4 X 10 = 40
P(B) =
40
100
4
ĩõ
Biến cố A.B là lẩy
ra quả cầu ở hộp thứ nhất trắng và quả cầu ở hộp
thứ hai là trắng:
P(AB) = -|^
v 7 100
6
25
Ta có: P(A).P(B) = |.| = ^ = P(AB)
Vậy A và B là độc lập
Gọi Al là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng trắng;
A2 là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng đen.
Rõ ràng A1 và A2 xung khắc A = Al O A2 là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Á 4	4 6
P(A) = P(A, V A2) = P(A,) + P(A!) = — + ^ = 0.48
Gọi B là biến cô' lấy ra hai quả cầu khác màu
P(B) = p(Ã) = 1-0,48 = 0,52