Giải bài tập Toán 11 Bài 5. Đạo hàm cấp hai

Bài 5
ĐẠO HÀM CẤP HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm X e (a; b) thì đạo hàm f(x) là một hàm số’ mới xác định trên (a; b).
Nếu hàm số f(x) lại có đạo hàm tại X thì đạo hàm của f’(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của Kx). Kí hiệu y” = f”(x) = [f’(x)]’.
Nếu kí hiệu f(x) = f(x)]’
Đạo hàm cấ 3, cấp 4,... được định nghĩa tương tự. Nếu hàm sô' y = f(x) có đạo hàm đến cấp n - 1, kí hiệu f*n_1,(x) và hàm sô' f<n_1)(x) lại có đạo hàm tại X thì đạo hàm của í01-1’^) là đạo hàm cấp n của fix), kí hiệu f<n,x.
f<n)x = [í^Ỵx)]’
Ý nghĩa co’ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t). Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là v(t) = f’(t). Nếu v(t) lại có đạo hàm tại t thì đạo hàm của v(t) là gia tốc tức thời tại t của chuyển động đó. Như vậy, gia tốc tức thời tại t là y(t) thì:
y(t) = [v(t)T = [f’(x)]’ = f”(t)
B. GIẢI BÀI TẬP
, f”(0), f ” -4-
2)	118J
1. a. Cho fix) = (x + 10)6. Tính f”(2).
b. Cho f(x) = sin3x. Tính f
Giải
Ta có: f(x) = 6(x + io)5
f”(x) = 30(x + 10)4 f”(2) = 30.124 = 622.080
Ta có: f'(x) = 3cos3x
f"(x) = -9sin3x , f"f-ii = -9.sinf-^i = -9
I l 2 )
f”(0) = 0
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
4(1-X)3	■ 4.2(1 - x)3ự(l - x)3 - 4ự(l - X)5
y' = —Z—= l + tan2x
cos X
y* = (1 + tan2xj’ = 2.tan.
2sinx
2__	3__
cos X cos X
y' = 2.cosx.(-sinx) = - 2sinxcosx = - sin2x
y" = - 2.cos2x