Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm

  • Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm trang 1
  • Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm trang 2
  • Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm trang 3
  • Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm trang 4
Bài 2
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG
Đạo hàm của một sô hàm sô thường gặp
(x11)’ = n.x11-1, đặc biệt x’ = 1, (C)’ = 0 với c là hằng sô'.
Đạo hàm của một tổng, tích, hiệu, thương
Định lí: Giả sử u = u(x), V = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm X thuộc khoảng xác định. Ta có:
(u + v)’ = u’ + v’
(u - v)’ = u’ - v’
(u.v)’ = u’.v + u.v’
( u^l u.v - u.v' .	 ,
7 =	(V = v(x) * 0)
V vy V
ỉỉệ quả: Nếu k là hằng sô' thì:
(k.u)’ = k.u’
Đạo hàm của hàm sô họ’p
Định lí: Nếu hàm sô' u = g(x) có đạo hàm tại điểm X là u’x và hàm sô' y = f(u) có đạo hàm tại u là y’u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại X là: y’x = y’u-u’x
1GS
B. GIẢI BÀI TẬP
Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
y = 7 + X - X2 tại Xo = 1
y = X3 - 2x + 1 tại Xo = 2.
Giải
a.y-(i) = ;ỉ
Ax-»o	Ax b. /(!) . Ịi [(2 + Ax)ĩ-2(2 + Ạx)+1]-[2>-2.2 + 1Ị = 1o
Ax-0	Ax
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = X5-4x3+2x-3
X4 2x3 , 4x2
c. y - —	_+___
2	3	5
a. y’ = (x5 - 4x3 + 2x - 3)’
= 5x4 - 4.(3x2) + 2
b. y = -7~4x + x2-0,5x 4 3
y = 3x5(8-3x2).
Giải
= (x5)’ - (4x3)’ + (2x)’ - (3)’
= 0-ị + 2x-0,5.(4x3)
3
=	+ 2x-2x3
c. y’ =
V_2xl+4x^_1>
-Ì
b)
f 2x3Ỵ , f4x2>
———	_l_	———
X 3 J 5 ,
= 5x4 - 12x2 + 2
= 2x3 - 2x2 + X
5
4x3 3.(2x2) 2.(4x)
2	3	+ 5
y’= [3x5(8-3x2)J	= (3x5)’(8-3x2) + 3x5(8-3x2)’
= 15x4(8 - 3x2) + 3x5(-6x) = -63x6 + 120x4
Tìm đạo hàm của các hàm sô' sau:
e. y =
y = (x7-5x2)3	b. y = (x2+l)(5-3x2)
(m, n là các hằng số). X J
Giải
Theo định lý về đạo hàm của hàm số’ hợp thì:
y’= (x7-5x2)3
= 3(x7 - 5x2)2.(x7 - 52)’
= 3(7x6 - 10x).(x7 - 5x2)2
y’ = (x2 + 1)’(5 - 3x2) + (x2 + 1) (5 - 3x2)’ = -12x3 + 4x
y =	= I 77 I (với u = 2x; V = X2 -1)
X2—1 LvJ
,_<U\ _ ƯV-VU _ 2(x2 -l)-2x.2x -(x2 +1)
y’lvJ V2 (x2-l)2	= (x2-l)2
y = —7	7 = 77 ì (với u = 3 - 5x; V = 3x2 - X + 1)
X2- x + 1
U’ = -5; V = 2x - 1
-5x2 -6x -2
6n
T-
4. Tìm đạo hàm của các hàm số’ sau:
a. y = X2 -X
X’3
e. y’ = 3 m + -^-
n
m + -LT
X
b.
===== (a là hằng số) -X2
c. y =
d.
Giải
= 2x-
2
y - V2-5X-X2
Đặt u = 2 - 5x - X2
2VŨ
tt' r ->	. r Tĩ'	-5 - 2x
ux = -5 - 2x => y = y iX =	-
2V2-5X-
(x3)'.Vã	Đạo hàm của các hàm số lượng giác
 -X2 -x3(7a2 -X2)' _	3a2x2-2x4
a2 -X2	(a2 -x2)Va2 -X2
, , _ (l + x)'.Vl-x -(l + x)(ựl-x)'
y = 	—	
1-x
1-x 2(l-x)Vl-x
5. Cho y = X3 - 3x2 + 2. Tìm X để:
a. y’ > 0	b. y’ < 3.
Giải
Ta có: y’ = 3x2 - 6x > 0
 3x(x -2)>0 => x 2
Vậy X 2 thì hàm sô' y = X3 - 3x2 + 2 có đạo hàm y’ > 0.
Ta có: y’ 3x2 - 6x < 3
 3x2 -6x-3 X2 - 2x - 1 < 0
 1 - V2 < X < 1 + V2
Vậy 1 - V2 < X < 1 + V2 thì hàm số y = X3 - 3x2 + 2 có đạo hàm y’ < 3.