Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
Bài 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG Đạo hàm của một sô hàm sô thường gặp (x11)’ = n.x11-1, đặc biệt x’ = 1, (C)’ = 0 với c là hằng sô'. Đạo hàm của một tổng, tích, hiệu, thương Định lí: Giả sử u = u(x), V = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm X thuộc khoảng xác định. Ta có: (u + v)’ = u’ + v’ (u - v)’ = u’ - v’ (u.v)’ = u’.v + u.v’ ( u^l u.v - u.v' . , 7 = (V = v(x) * 0) V vy V ỉỉệ quả: Nếu k là hằng sô' thì: (k.u)’ = k.u’ Đạo hàm của hàm sô họ’p Định lí: Nếu hàm sô' u = g(x) có đạo hàm tại điểm X là u’x và hàm sô' y = f(u) có đạo hàm tại u là y’u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại X là: y’x = y’u-u’x 1GS B. GIẢI BÀI TẬP Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau: y = 7 + X - X2 tại Xo = 1 y = X3 - 2x + 1 tại Xo = 2. Giải a.y-(i) = ;ỉ Ax-»o Ax b. /(!) . Ịi [(2 + Ax)ĩ-2(2 + Ạx)+1]-[2>-2.2 + 1Ị = 1o Ax-0 Ax Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a. y = X5-4x3+2x-3 X4 2x3 , 4x2 c. y - — _+___ 2 3 5 a. y’ = (x5 - 4x3 + 2x - 3)’ = 5x4 - 4.(3x2) + 2 b. y = -7~4x + x2-0,5x 4 3 y = 3x5(8-3x2). Giải = (x5)’ - (4x3)’ + (2x)’ - (3)’ = 0-ị + 2x-0,5.(4x3) 3 = + 2x-2x3 c. y’ = V_2xl+4x^_1> -Ì b) f 2x3Ỵ , f4x2> ——— _l_ ——— X 3 J 5 , = 5x4 - 12x2 + 2 = 2x3 - 2x2 + X 5 4x3 3.(2x2) 2.(4x) 2 3 + 5 y’= [3x5(8-3x2)J = (3x5)’(8-3x2) + 3x5(8-3x2)’ = 15x4(8 - 3x2) + 3x5(-6x) = -63x6 + 120x4 Tìm đạo hàm của các hàm sô' sau: e. y = y = (x7-5x2)3 b. y = (x2+l)(5-3x2) (m, n là các hằng số). X J Giải Theo định lý về đạo hàm của hàm số’ hợp thì: y’= (x7-5x2)3 = 3(x7 - 5x2)2.(x7 - 52)’ = 3(7x6 - 10x).(x7 - 5x2)2 y’ = (x2 + 1)’(5 - 3x2) + (x2 + 1) (5 - 3x2)’ = -12x3 + 4x y = = I 77 I (với u = 2x; V = X2 -1) X2—1 LvJ ,_<U\ _ ƯV-VU _ 2(x2 -l)-2x.2x -(x2 +1) y’lvJ V2 (x2-l)2 = (x2-l)2 y = —7 7 = 77 ì (với u = 3 - 5x; V = 3x2 - X + 1) X2- x + 1 U’ = -5; V = 2x - 1 -5x2 -6x -2 6n T- 4. Tìm đạo hàm của các hàm số’ sau: a. y = X2 -X X’3 e. y’ = 3 m + -^- n m + -LT X b. ===== (a là hằng số) -X2 c. y = d. Giải = 2x- 2 y - V2-5X-X2 Đặt u = 2 - 5x - X2 2VŨ tt' r -> . r Tĩ' -5 - 2x ux = -5 - 2x => y = y iX = - 2V2-5X- (x3)'.Vã Đạo hàm của các hàm số lượng giác -X2 -x3(7a2 -X2)' _ 3a2x2-2x4 a2 -X2 (a2 -x2)Va2 -X2 , , _ (l + x)'.Vl-x -(l + x)(ựl-x)' y = — 1-x 1-x 2(l-x)Vl-x 5. Cho y = X3 - 3x2 + 2. Tìm X để: a. y’ > 0 b. y’ < 3. Giải Ta có: y’ = 3x2 - 6x > 0 3x(x -2)>0 => x 2 Vậy X 2 thì hàm sô' y = X3 - 3x2 + 2 có đạo hàm y’ > 0. Ta có: y’ 3x2 - 6x < 3 3x2 -6x-3 X2 - 2x - 1 < 0 1 - V2 < X < 1 + V2 Vậy 1 - V2 < X < 1 + V2 thì hàm số y = X3 - 3x2 + 2 có đạo hàm y’ < 3.