Giải bài tập Toán 11 Bài 3. Cấp số cộng

Bài 3
CẤP SỐ CỘNG
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Định nghĩa
Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (un) được gọi là cấp số cộng nếu Un+1 = un + d V n, trong đó d là một hằng số được gọi là công sai. của cấp sô'.
Tính chât của câ'p sô cộng
Cho (un) là cấp sô' cộng với công sai d thì:
un = U1 + (n - l)d
uk = 4- [uk_i + uk+1] Vk > 2 2
, „	n(u, +un)	 , n(n-l) ,
sn = Ui + u2 + ... + un = 	—2	nu, +—-—-d.
B. GIẢI BÀI TẬP
Trong các dãy sô' (un) sau đây, dãy sô' nào là cấp sô' cộng? Tính sô' hạng đầu và công sai của nó.
a. un = 5 - 2n
c. un = 3"
b. un
d. un
7-3"
2
Giải
a. Vì un = 5 - 2n nên U1 = 5 - 2 = 3
Giả sử n >1, xét hiệu sau:
un + 1 - un = 5 - 2 (n + 1) - 5 + 2n = -2
=> un + 1 = un - 2
Vậy (un) là cấp sô' cộng với cộng sai d = -2.
b. V u„
—-1 nên U| = —-1 = ——
1 2	2
Giả sử n > 1, xét hiệu sau:
Un+1~Un
n+1
2
-1-^ + 1
n 1 n
2 + 2~2
1 	1
2 Un+I ~ Un + 2
Vậy (un) là cấp sô' cộng với cộng sai d = -4 -
Giả sử n > 1, xét hiệu sau:
“n., - u. = 3(n,l) - 3" = 3".3 -3" = 2.3" => u,„ = U..2 * u. +d
Vậy (un) không phải là cấp số cộng vì không xác định được công sai.
, „ i7-3n	_7-3__
đ-un=-ỳ- =>ui=-^=2
Giả sử n > 1, xét hiệu sau:
un+1-un
2	2
7-3n-3-7+3n	3
-3 n+1_Un 2
Vậy (un) là cap so cộng với công sai d = - —.
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
u7 — u3 = 8 u2.u7 = 75
Giải u1-[u,+(3-l)d] + u,+(5-l)d = 10 u,+u1+(6-l)d = 17
Uị +2d = 10
t>[2u,+5d = 17
U| - u3 + u5 =10 ut+u6=17
b. <
a. Ta CÓ: ■
U| = 16
Vậy só' hạng đầu bằng 16 và công sai bằng -3.
Ta có:
u7 — u3 = 8
u2.u7 = 75
4d = 8 (U|-d)(u,
-6d) = 75
d = 2,Uj = 3 d = 2,u, =-17
Vậy cấp sô' cộng có số hạng đầu là -17, công sai d = 2, hoặc sô' hạng đầu là 3, công sai d = 2.
Trong các bài toán về cấp sô' cộng, ta thường gặp năm đại lượng U1, d, n, Oqi Sn.
a. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b. Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:
U1
d
Un
n
Sn
-2
55
20
-4
15
120
3
27
7
17
12
72
2
-5
-205
Giải
Có thể sử dụng các công thức:
un = U1 + (n -1) d với n > 2
Sn = <^) „sn=,U|+i(121)d
n	2	1	2
Điền vào bảng:
U1
d
Un
n
Sn
-2
3
55
20
530
36
-4
-20
15
120
3
_4_
27
7
28
140
-5
2
17
12
72
2
-5
-13
10
-205
Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.
Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.
Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Giải
Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.
=> n bậc thang cao 0,18.n (m)
Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân sẽ là:
hn = (0,5 + 0,18n) (m)
Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
1121 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ?
Giải
Số’ tiếng chuông của đồng hồ theo giờ từ 0 đến 12 giờ là một cấp số cộng hữu hạn U1, u2, .... U12 trong đó un với n = 1, 2, ... 12 với số hạng đầu tiên U1 = 1, công sai d = 1
Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:
12(12 + 1) „„ 	
S12 = l + 2 + 3 + 4 + ... + 12 = —	- = 78 (tiếng).