Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Dãy số

Bài 2
• DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Định nghĩa dãy số
Định nghĩa 1: Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn, kí hiệu:
u: N’ -> R n I—> u(n)
U1 = u(l), u2 = u(2), Un = u(n)... Ta gọi U1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng tổng quát của dãy sô'. Dãy sô' có thể viết dưới dạng khai triển Ui, u2, un, trong đó un = u(n) hoặc viết công thức của sô' hạng tổng quát u(n).
Định nghĩa 2: Mỗi hàm sô' u xác định trên tập M = {1, 2, mỉ với m 6 N* được gọi là dãy số hữu hạn.
U1 = u(l) là số hạng đầu, ura = u(m) là số hạng cuối.
Cách cho một dãy sô'
Một dãy sô' có thể:
+ Cho công thức của sô' hạng tổng quát.
+ Mô tả các sô' hạng của dãy.
+ Cho bằng phương pháp truy hồi.
Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy sô' (un) là dãy số tăng nếu Un+1 > un Vn 6 N*
Dãy sô' (un) là dãy số giảm nếu un+1 < Un Vne N*
Dãy sô' bị chặn
Dãy sô' (un) là bị chặn trên nếu tồn tại sô' M e R sao cho un < M Vn e N’, là bị chặn dưới nếu tồn tại m € R sao cho m < Un Vn e N*.
Dãy sô' (un) là được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
B. GIẢI BÀI TẬP
1. Viết năm sô' hạng đầu của các dãy sô' có sô' hạng tổng quát ụn cho bởi công thức:
n	v 2n-l
3- ư„ = —	T	b. un = —	
n 2n-l	n 2"+l
a. U1 =
u4 =
1
—R = 1;
2-1
4	4
u2 =
b. U1 =
u4 =
d. U1 =
16-1 15’
2'-1 2'+l " 24-l 24+l“
3 ’
]5
17’
u5 =
u2 =
u5 =
Giải
2	2
4-1“ 3 ’
5	_5__
32-1“ 31’
22-l 3
22+i“ 5’
25-l 31
Rì
l 1)
= 2;
u2 =
Rĩ
I 2j
ỈR'
y 625 .
u5 =
R5
J “ 256 :
L 5J
c. Uj =
u4 =
u2 =
2
u3 =
u3 =
u3 =
3	3
8-1" 7 ’
23-l
23 + l
_ 7776
“ 3125 ;
2_.
r~ Ĩ
5_
r26;
n+i = un+3 với n > 1.
1	1_
VĨ+Ĩ" V2;
4	4
V47
a/22+1 5	
'17'	" 75R1
2. Cho dãy số (un), biết u, = -1, u
u3 =
u4 =
u5 =
Viết năm số hạng đầu của dãy số:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n - 4
Giải
a. U1 = -1, un + 1 = un + 3 với n > 1
U, =-l
U-, — Uị +3 —1 + 3 — 2
Ta có: u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5
u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8 u5=u4+ 3 = 8 + 3 = 11
Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n - 4 (1)
Khi n = 1 thì U1 = 3.1 - 4 = - 1, vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là Uk = 3k - 4 (2). Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1,
tức là Uk + 1 = 3(k + 1) - 4 = 3k - 1 theo giả thiết: Uk +1 = Uk + 3
(2) => Uk+1 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4
=> (1) đúng với n = k + 1
Vậy (1) đúng với n e G N*
Dãy số’ (un) cho bởi U! = 3, un+1 = ựl + U2, n > 1
Viết năm số hạng đầu của dãy số
Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Giải
a. Năm số hạng dầu của dãy sô”:
Uj =3;
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy sô': un = Vn + 8 (1)
Rõ ràng (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là Uk = Vk + 8
Ta có: uk+| = ựl + uk = ựl + (ựk + 8)2 = ự(l + k) + 8
Vậy (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n e N*.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:
Giải
0
a. Un+1 = 7T7"2
n + 1
neN*,n>l =>n + l>n
111	0. 1	0
=>————-2< —-2
n + 1 n	n + 1	n
=> un+1 < un Vn e N’ (Dãy số đã cho là dãy số’ giảm)
b. un
n-1
n + 1
Ta co: un+1 -
n + 1-1
n + 1 + 1
n n -1
Un+,_U” “7+2 "7+1
n(n + l)-(n-l)(n + 2)	2
(n + 2)(n + l)	(n + 2)(n+l)
VneN’, n>l=> un+1-un >0
=> Un+1 > Un => <un) là dãy s° tăng-
un = (-l)n (2 + 1)
Nhận xét:
^(-l)n > 0 nếu n chan => {un > 0 nếu n chẵn.
|(-l)n {un < 0 nếu n lẻ.
và 2n + 1 > 0 Vn e N*
=> u, 0, u3 0, ...
=> u, u3, u3 < u4,...
=> dãy số (un) không tăng, không giảm.
, 2n + l 2n + 3
d. Un = 	un+1 = -——
5n + 2 5n + 7
Với n e N’, n > 1
2n + 3 2n + l
Xét: u - U	——
n 11 5n + 7 5n + 2
(5n + 2)(2n + 3)-(2n + l)(5n + 7)
< 0 Vn e N*
—un+l un u ~y un+l un
Vậy (un) là dãy số giảm.
b.un
Trong các dãy số (un) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
u„ = 2n2 -1
c. un = —5—- n 2n2-l
un = sinn + cosn
Giải
a. un = 2n2 - 1
Ta có: n > 1 n2 > 1 2n2 > 2 2n2-l>l hay un >1
=> dãy (un) bị chặn dưới Vn G N*.
Nhưng (Un) không bị chặn trên vì không có số’ M nào thỏa: un = 2n2 -1 < M Vn G N’
Vậy dãy số’ (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
b- u" =
n(n + 2)
Ta có: un =	1	> 0, Vn G N*
n(n + 2)
Mặc khác n(n + 2) > 3 Vne N*
=> u = ---" <4 VneN*
n n(n + 2) 3
Vậy dãy sô' (un) bị chặn.
1
un =	7
n 2n2-l
Ta có: un = —4—- > 0, Vn G N*
” 2n2-l
Mà n>l =>n2>lVneN’ => 2n2 > 2 Vn G N‘
X =_ X _ „ .	< 1 Vn G N*
2n2-l
Vậy dãy sô' vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên, do đó bị chặn.
Un = sinn + cosn
Ta có: un =
2	cosn+ ——sinn
2	2
C7 .	_ . 71
2 sin n + —
l 4
Vậy dãy số (un) bị chặn Vn G N*.