Giải bài tập Toán 11 Bài 4. Phép thử và biến cố

Bài 4
PHÉP THỬ VÀ BIỂN CỐ
KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Phép thử, không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta biết tập hợp các kết quả có hể có của nó nhưng mỗi lần thực hiện phép thử ta không đoán được kết quả của lần thực hiện ấy.
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .
Biên cô
Một sự kiện có thể xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên T được gọi là biến cố ngẫu nhiên, gọi tắt là biến cố, liên quan đến phép thử T.
Biến cố liên quan đêh phép thử được mô tả bằng một tập hợp con của không gian mẫu Q của phép thử T.
Tập 0 được gọi là biến cố không thể, tập Q được gọi là biến cố chắc chắ I.
Phép toán trên các biến cố
Biến cố đối
Biêh cô' A liên quan đến phép thử T có không gian mẫu Q thì fì \A là biến cố đối của A. Kí hiệu Q \A là A .
Biến cố hợp, biến cố giao
A và B là hai biêh cố cùng liên quan với phép thử T thì A 'J B là hợp của A và B, A n B là giao của A và B.
Nếu A n B = 0 thì ta nói A và B xung khắc. Biêh A n B còn được viết tắt là AB.
GIẢI BÀI TẬP
Gieo một đồng tiền 3 lần.
Mô tả không gian mẫu
Xác định các biêh cô':
A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”
C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.
Giải
Không gian mẫu gồm 8 phần tử:
Q = {SSS, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNNỊ
Trong đó, sss là kết quả “ba lần gieo đồng tiền xuất hiện mặt sấp”; NSS là kết quả “lần đầu đồng tiền xuất hiện mặt ngửa, lần thứ hai, thứ ba xuất hiện mặt sấp”.
Xác định các biến cố:
A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
A = {SSS,SSN,SNS,SNN}
B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”
B = {NNs, SNs, SNN }
C: “Mặt ngửa xảy ra đúng một lần”
c = {SSN,NSS,SNS,NNS,NSN,SNN,NNN}
Gieo một con súc sắc hai lần.
Mô tả không gian mẫu.
Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A: = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
B: ={(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4),(1,7),(7,1)}
C: = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.
Giải
Không gian mẫu gồm 36 phần tử:
Q = {(i, j) |i, j = 1 , 2, 3, 4, 5, 6}
Trong đó (i, j) là kết quả “lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.
Phát biểu các biến cố dưới dạng mệnh đề:
A ={(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Đây là biến cố “lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm khi gieo con súc sắc”.
B: ={(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}
Đây là biến cố “cả hai lần gieo có tổng số chấm bằng 8”.
C: = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.
Đây là biến cố “kết quả của hai lần gieo là như nhau”.
Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, lấy ngẫu nhiên 2 thẻ.
Mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cố’ sau:
A: “Tổng các sô' trên hai thẻ là số chẵn”
B: “Tích các sô' trên hai thẻ là sô' chẵn”.
Giải
Không gian mẫu gồm 6 phần tử, được mô tả:
ÍÌ = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)Ị
Trong đó (1, 2) là kết quả “lần đầu lấy trúng thẻ 1 và lần 2 lây trúng thẻ 2”,....
Xác định các biến cô' sau:
A: “Tổng các sô' trên hai thẻ là sô' chẵn”
=>A = {(1,3), (2,4)}
B: “Tích các sô' trên hai thẻ là sô' chẵn”
=>B = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: “Người thứ K bắn trúng”, k = 1, 2.
Hãy biểu diễn các biến cô' sau qua các biến cô' A1, A2;
A: “Không ai bắn trúng”
B: “Cả hai đều bắn trúng”
C: “Có đúng một người bắn trúng”
D: “Có ít nhất một người bắn trúng”.
Chứng tỏ rằng A = D ; B và c xung khắc nhau.
Giải
Ak là biến cô': “người thứ k bắn trúng”
A1 là biến cố: “người thứ 1 bắn trúng”
=> Biến cô' đô'i của biến cô' Aị là Ai
A2 là biến cô' “người thứ 2 bắn trúng”.
=> Biến cô' A2: “người thứ hai không bắn trúng” là Ai.
a.
+ A: “không có ai bắn trúng”: A = A| n A2
+ B: “cả hai đều bắn trúng”: B= A,nA,
+ C: “có đúng một người bắn trúng”: C = ^A| riAỉ )^(A1 nA,);
+ D: “có ít nhất một người bắn trúng”: D = A1 A2.
* Biến cố đốì của biến cố D: “cả hai đều bắn trượt” là D
Vì A là biến cố “không ai bắn trúng”
=> A = D;
B = A1 nA2
* Ta có:	/	X
c = (Aj nAJu^Ai nA2J
=> BnC = 0 => B và c xung khắc.
Từ một hộp chứa 10 cái tliẻ, trong đó các thẻ đánh sô' 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số’ 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.
Mô tả không gian mẫu.
Kí hiệu A, B, c là các biến cố sau:
A: “Lây được thẻ màu đỏ”
B: “Lấy được thẻ màu trắng”
“Lấy được thẻ ghi số chẵn”.
Hãy biểu diển các biến cố A, B, c bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.
Giải
Không gian mẫu gồm 10 phần tử: Q = {l,2,3....io}; trong đó “kết quả có thể lấy trúng thẻ màu đỏ, màu xanh, màu trắng.
A, B, c “là các biến cố*.
+ A: “lấy được thẻ màu đỏ”:
A = {1,2,3,4,5}
+ B: “lấy được thẻ màu trắng”:
B = {7,8,9,10}
+ C: “lấy được thẻ ghi số’ chẵn”.
c = {2,4,6,8,10}
Gieo một đồng liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt sấp hoặc cả 4 lần ngửa thì dừng lại.
Mô tả không gian mẫu
Xác định các biến cố:
A: “Số’ lần gieo không vượt quá 3”
B: “Số lần gieo là 4”.
Giải
Không gian mẫu của phép thử gồm 5 phần tử được mô tả sau:
Q = {s, N s, NN s, NNNs, NNNN }
Xác định các biến cố:
+ A: “Số’ lần gieo không vượt quá ba”:
A = {S,NS,NNS}
+ B: “số lần gieo là bôn”:
B = {NNNS,NNNN}.
Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
Mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cố sau:
A: “Chữ số’ sau lớn hơn chữ số trước”
B: “Chữ số’ trước gấp đôi chữ số’ sau” C: “Hai chữ số’ bằng nhau”.
Giải
Không gian mẫu gồm 10 phần tử được mô tả như sau:
Q = {(1; 2), (2; 1), (1; 3), (3; 1), (1; 4), (4; 1), (1; 5), (5; 1), (2; 3), (3; 2), (2; 4), (4; 2), (2; 5), (5; 2), (3; 4), (4; 3), (3; 5), (5; 3), (4; 5), (5; 4)1
Xác định các biến cố sau:
+ A: “chữ số’ sau lớn hơn chữ số’ trước”:
A - {(l,2).(1.3),(l,4),(l,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}
+ B: “chữ số’ trước gấp đôi số’ sau”:
B = {(2,1),(4,2)}
+ C: “Hai chữ số bằng nhau”:
c =0