Giải Toán 10: Bài 1. Bất đẳng thức
CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1. BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ TÍNH CHẤT CỦA BAT đang thức a) A > B vaB>C=>A>C b) A > B « 1 \ + c > B + c AC > BC nếu c > 0 c) A > B • AC < BC nếu c < 0 d) A > B và 3>D=>A + C>B + D e) A > B > 0 và c > D > 0 => AC > BD g) A > B > 0, n e N* => An > Bn h) A > B > 0 => \ÍẬ > 7b và VÃ > Vb 2. BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐÔÌ Đối với hai số a, b tùy ý, ta có: a) a + b - Ia + |b| ; a + b = a + |b ab > 0 b) |a| -1 □|| < a -1 I; a - b = a - b ab > 0 3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN a) ——— Tab (a > 0, b > 0); ——— = Tab a = b b) I vabc (a > 0, b > 0, c > 0); —— = vabc a = b Ap dụng: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn khi hai sô" đó bằng nhau. Nếu hai sô" dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ a + b + c „— a + b + c .. / nhất nhất khi hai sô" đó bằng nhau. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Trong các khắng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của X? a) 8x > 4x b)4x > 8x 8x2 > 4x2 d)8 + x>4 + x Giải a) Sai với mọi X 0 Sai khi X = 0 d) Đúng với mọi giá trị của X BÀI 2 Với cùng một số X > 5, biểu thức nào trong các biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất? 5 5 , 5 , X A = - B = - + 1 c = --1 D = 1 X X X 5 Giải Vì X/x > 5 có — < 1 suy ra c luôn âm, còn A, B, D đều luôn dương. Do đó c nhỏ nhất. x BÀI 3 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh (b - c)2 < a2 Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c và a + b - c, a + c - b đều dương, do đó a2 - (b - c)2 = (a + b - c)(a - b + c) > 0 Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có (b - c)2 + (c - a)2 + (a - b)2 < a2 + b2 + c2 Do đó 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2 hay a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) BÀI 4 Chứng minh rằng X3 + y3 > x2y + xy2, Vx, y > 0 Giải Xét hiệu (x3 + y3) - (x2y + xy2) = (x + y)(x2 - xy + y2) - xy(x + y) = (x + y)(x2 - 2xy + y2) = (x + y)(x - y)2 > 0, Vx ằ 0, Vy 0 Do đó X3 + y3 > x2y + xy2, Vx > 0, Vy > 0 Đẳng thức chỉ xảy ra khi X = y > 0. BÀI 5 Chứng minh rằng X4 - Tỉc + X - Vx + 1 > 0, Vx > 0 Hướng dẫn: Đặt 7x = t, xét hai trường hợp 0l ____________ _ Đặt 7x = t (t > 0) thì X4 - 7? + X - 7x + l=t8-t5 + t2-t + l Khi 0 < X < 1 thì 0 < t < 1 và t8 - t5 + t2 - t + 1 = t8 + t2(l - t3) + (1 - t) > 0 Khi X > 1 thì t > 1 và t8 - t5 + t2 - t + 1 = t5(t3 - 1) + t(t - 1) + 1 > 0 Kết luận: Vậy X4 - 4Ỉ + X - 7x + 1 > 0, Vx > 0 BÀI 6 Trong mặt phẵng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm o bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B đế đoạn AB có độ dài nhỏ nhât. Giải Ta có HA.HB = OH2 = 1 không đổi AB = HA + HB > 2VHA.HB •• 2 => AB > 2 Hơn nữa, AB = 2 HA = HB AOAB vuông cân ở 0 các tam giác OHB và OHA vuông cân, có cạnh góc vuông bằng 1 o OA = OB - 72 ■ Vậy đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi A( 72 ; 0) và B(0; 72 )• c. BÀI TẬP NÂNG CAO BÀI 1 Chứng minh rằng a4 + b4 > a3b + ab3 với mọi a, b e R. (a + b + c)2 < 3(a2 + b2 + c2) với mọi a, b, c e R. Giải a4 + b4 - a3b - ab3 = a3(a - b) + b3(b - a) = (a - b)(a3 - b3) = (a - b)2(a2 + b2 + ab) > 0 (a + b + c)2 < 3(a2 + b2 + c2) (1) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc > 3a2 + 3b2 + 3c2 a2 + b2 + c2 - ab - ac - bé > 0 (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 > 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh. BÀI 2 Cho a, b, c, d là bôn số dương. Chứng minh rằng a , b c d 1 < ĩ 1” ĩ 7 4 ĩ '—“ 7” < 2 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b Giải a. a. Do a, b, c, d là các số dương nên 7 > 7— 7 h b a+b+c a+b+c+d b+c+d a+b+c+d c c c+d+a a+b+c+d d d d+a+b a+b+c+d Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, tạ suy ra a b c d ĩ ĩ ĩ” ĩ a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b Lại có a+b+c a+c c+d+a nên a c - _) a+b+c c+d+a Tương tự -—-—- + -———— < 1. Từ đó suy ra b+c+d d+a+b a b c d ĩ 1" ĩ 7 ĩ ' T ĩ- 2 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b BÀI 3 Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương k ta đều có (k + l)7k <7k 7k + 1. Áp dụng: Chứng minh rằng 1 ' 1 1 1 2 372 473 +... + a) 1 7k (k + l)7k ” (k + l)k _ 7kr 1 ,, m < 2 (n + l)Vn Giải = 7k (7k 7k +1 ] [ 7k 7k +1 1 + • r — 7k +1 1 1 1 1 b) 2 + 372 + 473 + + (n + l)7n 7k 7k +1 /n 7n +1J L 7n +1 BÀI 4 111 a) Chứng minh 1, k e N). h7 1 , 1 1,1 1 <21 ỹ= H T H + ... + I 72 72 7s 73 74 < 2 b) Từ kết quả trên, hãy suy ra 1 V 1 1 l3 + 23 + 33 + ' + ^T<2 n3 Giải 1 1 (k-l)k“k-l k ,111, ,1.1,1 1,1 1,1 1 l3 123 33 n3 2 2 3 3 4 a) k3 < k2 < = 2 - - < 2 BÀI 5 Cho hai số a, b (a b). Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức f(x) = (x - a)2 + (x - b)2 Cho ba sô a, b, c đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức g(x) = (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2 Giải a) f(x) = (x - a)2 + (x - b)2 = 2x2 - 2(a + b)x + a2 + b2 a + bV (a - b)“ I 2 J 2 (a — b)2 . . , »’ , ■> [ a + b 1 Ta CÓ f(x) > -—- với mọi a, b; đang thức xảy ra khi X - - 0 a + b 2 7 v (a - b)2 \ _ a 4 b tức là X = —-—. Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là -— tại X - —-—. Chú ý: Tránh sai lầm suy luận rằng (x - a)2 + (x - b)2 > 0 với mọi X nên giá trị nhỏ nhát của f(x) là 0! b) Hướng dẫn: Viết g(x) về dạng a + b + c y (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 3 } 3 BÀI 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) = |x - 2003| + |x - 2004] Giải f(x) = |x - 2003| + |x - 2004| > |x - 2003 - (x - 2004)| = 1 Đẳng thức xảy ra khi X = 2003. Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 1. BÀI 7 Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào: (a + b)(ab + 1) > 4ab b) (a + b + c)(ab + bc + ca) > 9abc Giải Với a > 0, b > 0 ta có a + b > 2 Tab > 0 ; ab + 1 > 2Tab > 0 Từ đó suy ra (a + b)(ab + 1) > 2 Tab . 2\/ãb = 4ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Với a > 0, b > 0 c > 0, ta có a + b + c > 37abc >0 ; ab + be + cd > 3ya2b2c2 > 0 Từ đó suy ra (a + b + c)(ab + bc + ca) > 37abc . 3\'a2b2c2 = 9abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. BÀI 8 há trị nhỏ nhất của hàm sô 7 5 ’ ' z ' 1 2 ) = X2 + —y với X / 0 b) g(x) = — + - với 0 < X < 1 X X 1 - X Giải a) X2 + > 2 íx2.-^- = 2 Võ . Đẳng thức xảy ra khi X = + 7õ • X V X Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2J5 khi X - ± 7õ • , 77 ’ ' „ . , 1 1-x 7 2 2x o b) Do 0 0. Ta có — - ——— + 1; -—— - -—— + 2 X X 1 - X 1 - X - + = o- + -^4 + 3 > 2 + 3 = 272 + 3 xl-x X 1 -X 7 X 1 - X và 0 < X < 1 tức là X = -1 + 72 • Vậy 77, , 1 - X 2x Đang thức xảy ra khi = và 0 < X < 1 tức lề X 1 X giá trị nhỏ nhất của h(x) là 2 \ 2 +3 khi X = -1 + 72 • BÀI 9 Cho a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của ” - ,. a y = X (a - 2x)“ với 0 < X < — 2Giải „ a Do 0 0. Ta có x(a - 2x)2 = 7 ,4x.(a - 2x)(a - 2x) < 7 . í f2a ■’ " 4 = 4‘1 3 2a3 27 1 ( 4x + a - 2x + a - 2x Đẳng thức xảy ra khi 4x = a - 2x tức là X = . BÀI 10 Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của a b c A = 7—— + —— + —, b + c c + a a + b . Giai Đặt b + c = X, c + a = y, a + b = z. Do a, b, c dương nên X, y, z dương và x + y-z -x + y + z , X - y + z a = — : b = : c 2 ’ 2 -x+y+z x-y+z x+y-z . Khi đó ta có ,i.(2.3Í30)=| 2z x y x z y z n 2<y X z X z y J Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi a = b = c. D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Cho a, b, c thỏa mãn: 1,1,1 abc = lvàa + b + c> — + — + - Chứng minh: (a - 1 )(b - l)(c - 1) > 0 Chứng tỏ trong ba số a, b, c có đúng một số’ lớn hơn 1. Chứng minh rằng: Va, b, c, d, e e R, ta có: a2 + b2 + 1 > ab + a + b a2(l + b2) + b2(l + c2) + c2( 1 + a2) > 6abc a2 + b2 + c2 + d2 + e2 > a(b + c + d) BÀI 2 BÀI 3 " , . , <1? 1,12 Cho ba sô dương a, b, c thỏa: — + — = — a + b b + c 3- c b Chứng minh: 2 4 BÀI 4 Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác bâ’t kì và s là diện tích của tam giác đó. 1 Chứng minh: s < 7 Va1 + b' + c' BÀI 5 Cho X, y > 0. Chứng minh: 1 . V 4 — + — > —— X y X + ỵ _ Áp dụng: Chứng minh rang trong tam giác ABC, ta có: -X- + -L- + ^—>2Ỉ - + I + -1 p-a p-b p-c < a b cj BÀI 6 Cho a, b > 1. Chứng minh rằng: aựb - 1 + bựa - 1 < ab BÀI 7 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a + b + c > Tab + ý be + Tea BÀI 8 Cho 2n số dương: a1; a2,..., an và bp b2,..., bn Chứng minh rằng: ự(a! + b1)...(an + bn) > ^a,a2...an + ^b,b2...bn BÀI 9 Cho ạ, b, c 0 và a + b + c < 1. Chứng minh rằng: 1 + - I > 64 ,!ẤI 1 . 1 . 1 Cho a, b c > 0 và ~ 2 1 Tìm giá trị lớn nhất của p = abc. BÀI 11 Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: â b c b 4- c c + a a + b BÀI 12= + + + ~ + + — Cho X, y>0vàx + y= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của