Giải Toán 10: Bài tập ôn cuối năm
BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM BÀI 1 Cho hàm số f(x) = 7x2 + 3x + 4 - 7-X2 + 8x - 15 Tìm tập xác định A cúa hàm số f(x). Giả sử B = (x G R I 4 < X < 5}. Hãy xác định các tập A \ B và R \ (A \ B). Giải f(x) = 7x2 + 3x + 4 - 7-x2 + 8x -15 xác định với mọi X sao cho X2 + 3x + 4 > 0 -x2+8x-15>0 Giải hệ bất phương trình trên ta được 3 < X < 5 hay A = [3; 5]. A \ B = [3; 4], R \ (A \ B) = (-co; 3) u (4; co) BÀI 2 Cho phương trình mx2 - 2x - 4m -1 = 0 Chứng minh rằng với mọi giá trị m 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Tìm giá trị của m để -1 là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại. Giải Với m í 0, phương trình bậc hai có biệt thức A’ = 1 + m(4m + 1) = 4m2 + m + 1 > 0 Vậy phương trình đó có hai nghiệm phân biệt. Nếu -1 là một nghiệm của phương trình thì L ° ” 1 m + 2 - 4m - 1 = 0 m = — Khi đó phương trình là X2 - 6x - 7 = 0. Nghiệm còn lại là x2 = 7. BÀI 3 Cho phương trình X2 - 4mx + 9(m - l)2 = 0 Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm Giả sử Xp x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức giữa X1 và x2 độc lập đôi với m. Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trinh bằng 4. Giải Từ (1) ta có m = —-—, thê giá trị cua m vào (2) ta có Từ đó rút ra 9(Xj + x2 - 4)2 - 16x1x, = 0. Hệ thức này độc lập đối với m. Từ x2 - X1 = 4 suy ra (x2 - Xj)2 = (x1 + x2)2 - 4xjX2 = 16m2 - 36(m - l)2 = 16 13 hay 5m2 - 18m + 13 = 0m=l hoặc m = y- BÀI 4 Chứng minh các bất đẳng thức sau: 5(x - 1) 0 X5 + y5 - x4y - xy4 > 0, biết rằng X + y > 0 74a +1 + - — vàa + b+ c= l Giải Với X > 1 ta có X5 - 1 - 5(x - 1) = (x - l)(x4 + x3 + x2 + x+ l-5)>0 do đó X5 - 1 > 5(x - 1) 5x4(x - 1) - (x5 - 1) = (x - l)[4x4 - (x3 + x? + X + 1)] > 0 do đó 5x4(x - 1) > X5 - 1 Vì A= X5 + y5 - x4y - xy4 = X5 - x4y + y5 - xy4 = (x - y)(x4 - y4) = (x - y)2(x + y)(x2 + y2) nên A > 0 nếu X + y > 0 f . 1 , _ 1 1 Với a > , b > , c > - —, ta có \/4a + 1 + \/4b + 1 + 74c + 1 < < 74a2 + 4a + 1 + 74b2 + 4b + 1 + 74c2 + 4c + 1 Kết hợp với a + b + c = 1, ta có ự4a2 + 4a + 1 + 74b2 + 4b + 1 + 74c2 + 4c + 1 = (2a + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) = 2(a + b + c) + 3 = 5 Vậy ự4a + 1 + 74b + 1 + \/4c + 1 < 5 BÀI 5 Giải: aệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tam giác 3x + 5y - z - 9 X + 3y + 2z = 1 5x - 2y - 3z = -3 3x + 5y - z = 9 3x + 5y - z = 9 X + 3y + 2z = 1 7x + 13y = 19 J 5x - 2y - 3z = -3 -4x - 17y = -30 Giải Đưa về hệ phương trình dạng tam giác 3x + 5y - z = 9 7x + 13y = 19 67y =134 hai ta có 7x + 26 - 19 X - -1 Thay X = -1, y = 2 vào phương trình đầu và giải ra z = -2 íx = -1 Vậy nghiệm của hệ là y = 2 z = -2 BAI 6 Xét dấu biếu thức f(x) - 2x(x + 2) - (x + 2)(x + 1) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau y - 2x(x + 2) (Cj) y = (x + 2)(x + 1) (C2) Tính tọa độ các giao điểm A và B của (Cj) và (C2). Tính các hệ số a, b, c đê hàm số y = ax2 + bx + c có giá trị lớn nhát bằng 8 và đồ thị của nó đi quà A và B. Giải X 1 y - 2x(x + 2) = 2x2 + 4x fix) = 2x(x + 2) - (x + 2)(x + 1) = (x + 2)(2x - X - 1) = (x + 2)(x - 1) => f(x) > 0 với Bảng biến thiên Đế tìm tọa độ của giao điểm A và B của (Cj) và (Cọ) ta giải phương trình 2x(x + 2) = (x + 2)(x + 1) e> 2x2 + 4x - x2 + 3x + 2 x = 1 x2 + x- 2 = 0 .. o Từ đó suy ra hai giao điếm là A(-2; 0), B( 1; 6) Đế đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c đi qua A và B ta phải có [4a - 2b + c = 0 j a = b - 2 [ a + b + c = 6 ì c = 8 - 2b Đế ham số y - ax2 + bx + c có cực đại bằng 8 ta phải có a < 0 và —— = 8 4ac - b" a => —-Â = 8 4ac - b2 - 32a 4a , ' Thay a và c tìm được ở trên vào đãng thức cuối ta đươc b = 0 9b2 - 16b = 0 « Suy ra với b = 0 thì a = -2; c = 8 K _ 16 „ 2 40 9 9;c 9 BÀI 7 Chứng minh các hệ thức sau: „ 1 - 2sin2a 1 - tan a â) — 1 + sin 2a 1 + tan a . sin1 a - cos ' a + COS2 a 9 a c) : = cos — 2(1 - cosa) 2 b) sin a + sin 3a + sin 5a cos a + cos 3a + cos 5a tan 2x tan X . _ d) —— = sin 2x tan 2x - tan X = tan 3a Giải ) 1 - 2sin2a _ cos X - sin2 X _ COS a - sin a _ 1 - tan a l + sin2ạ (cos a + sin a)2 COS a + sin a 1 + tana , x sin a + sin 3a + sin 5a 2 sin 3a COS 2a + sin 3a b) - — = — - —— — = tan 3a cos a + cos 3a + cos 5a 2 COS 3a COS 2a + COS 3a A -2 a 2 a 2 4 sm _ COS _ 2 2 .2 a - — = cos — c) sin a cos1 a + cos2 a sin 2 a - cos2 a + cos2 a d) 2(1 - cosa) 4 sin2 4 sin2 tan 2x tan X sin 2x. sin X cos2xcosx tan2x-tanx cos2x.cosx sin 2xcosx - cos 2x sin X sin 2x sin X . „ = sin 2x sin(2x - x) BÀI 8 Rút gọn các biểu l + sin4a-cos a' thức sau: 4a c) 1 + cos4a + sin COS 2x - sin4x 4a - COS 6x , 1 + cos a , 2 a 9 b) -——-— tan - cos a 1 - cos a 2 a) cos 2x + sin 4x - COS 6x Giải 1 + sin 4a - cos 4a _ 1 + 2 sin 2a COS 2a - 1 + 2 sin2 2a 1 + cos 4a + sin 4a 1 + _2 COS2 2a -1 + 2 sin 2a COS 2a 2 sin 2a(cos 2a + sin 2a) = tan 2a 1 + cos a , 9 a b) ——tan 2cos2a(cos2a + sin 2a) 2 a 2 a 2 cos „2„ _ 2 - cos a = - c) tan 1-cosa 2 cos 2x - sin 4x - COS 6x 2 sin 4x sin 2x - sin 4x 2 sin2 cos2 a = 1 - cos2 a = sin2 a cos 2x + sin 4x - COS 6x 2 sin 4x sin 2x + sin 4x sin 2x - 4 sin 4x . 2 I sin 2x - sin 30" „• o„ , 41 sin2x + sin30° sin 2x + sin 4x , 2j 2cos(x + 15°)sin(x - 15") 2sin(x + 15")cos(x -15°) = tan(x - 15°)cot(x + 15°) BAI 9 Tính 4(cos24° + cos48° - cos84° - cosl2°) n ícỹ . 7Ĩ 7t 7Ĩ TC 71 96V3 sin — COS — COS—-COS—-COS — 48 _ 48 24 12 6 tan9° - tan63° + tan81° - tan27° Giải 4(cos24° + cos48° - cos84° - cosl2°) = 4(2sin54°sin30° - 2sin30°sinl8°) = 4(sin54° - sinl8°) = 8cos36°sinl8° 8 sin 18° cos 18° cos 36° _ 4 sin 36° COS 36" Q = cos 18° ” sin 72° , /X . 7t ĩt n n 71 jn it; _■ ft ft ft ft 96V3 sin—7-cos—-r cos——cos--cos22 = 48V3 sin 7— COS—— COS — COS — 7 48 48 24 12 6 24 24 12 6 = 24 V3 sin cos cos = 12 V3 sin ~ COS = 6^3 sin = 9 12 12 6 _ 6 6 3 tan9° - tan63° + tan81° - tan27° sin 9° COS 9° f sin 27" COS 27° - COS 9° sin 9° COS 27° sin 27" 1 K 1 sin 9“ cos 9° sin 27° cos 27" 2 2 4 cos 36° sin 18° sin 18° sin 54° sin 18° sin 54° BÀI 10 Rút gọn 'x 2x 4x 8x , , . X - . 3x . 5x a) cos 22 cos —— cos —— cos —T2 b) sin22 + 2sin — + sin-— 5 5 5 5 7 7 7 Giải X 2x 4x 8x A - cos-—COS—7-COS—J2 COS—— 7 5 5 5 5 „ . X. „ . x X 2x 4x 8x => 2 sin 22 A = 2 sin 2- cos — COS —22 COS —2 COS —— 5 5 5 5 5 5 . 2x 2x 4x 8x = sin —2 COS —2 cos —2 COS —2 5„ 5„ 5 5 1 . 8x 8x 1 . 16x = — sin —— COS-—= — sin —— 4 5 5 8 5 16 sin Suy ra A = . 16 sin 5 • X . 3x . 5x sin 22 + 2 sin —2 + sin —- '7 7 7 ' 3x 2x 3x = 2 sin-—cos —2 + 2 sin —— 7 7 7 2 sin 3x 2x 3x cos 77 + 1 =4 sin cos2 — BÀI 11 Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC (A, B, C cùng khác ) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC Giải a) tan(A + B) = tan A + tan B - tan c 1 - tan A tan B => tanAtanBtanC - tanC = tanA + tanB => tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC b) sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos(A - B) + 2sinCcosC = 2sinC[cos(A - B) + cosC] A+C-B A-B-C = 4sinCcos - cos - tan A + tan B 1 - tan A tan B = 4sinCcos(90° - B)cos(A - 90°) = 4sinAsinBsinC BÀI 12 Không sử dụng máy tính, hãy tính sin 40 - sin 45“ + sin 50° 6( 73 + 3 tan 15°) cos 40° - cos 45° + cos 50° 3-73 tan 15° Giải sin 40" - sin 45" + sin 50" 6(73+ 3 tan 15°) - cos 40" -cos 45" + cos 50" 3-73 tan 15° 2 sin 45" COS 5" - sin 45° 6(tan 30° + tan 15°) 2 cos 45° cos 5" —COS 45" 1 - tan 30° tan 15" = tan45° - 6tan45° = -5