Giải Toán 10: Bài 4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn Bất phương trình bậc nhất hai ấn X, y có dạng tổng quát là ax 4- by < c (1) (ax 4- by c; ax 4- by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, X và y là các ẩn số. BIỂU,DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT phương trình bậc nhất HAI ẨN Cũng như bất phương trình bậc nhất một ấn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và đế mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó. Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẵng tọa độ Oxy, đường thẳng ax 4- by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẵng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trìnhax + by c. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by c). Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, vẽ đường thẳng ax + by = c (A). Bước 2. Lấy một diêm MqÍXq; y0) không thuộc A (ta thường lấy gốc tọa độ O). Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c. Bước 4. Kết luận Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ A chứa Mo là miền nghiệm của ax + by < c. Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ A không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by < c. Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax +by < c bỏ đi đường thẳng ax + by - c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn Tương tự như hệ bất phương trình một ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn X, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất.phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ấn. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhát hai ẩn sau: -X + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) b) 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 Giải -X + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) 2y + X < 4 (1) Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình (1), ta có miền nghiệm của (1) là nửa mặt phẳng (không kế bờ) không bị tô đậm. ’ 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 -X + 2y < 4 (2) Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình (2), ta có miền nghiệm của (2) là nửa mặt phẳng (không kê bờ) không bị tô đậm. Biểu diên hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhát hai ấn sau c -X-1 < 0 íx - 2y < 0 3 2 a) • X + 3y > -2 3y 2 ịy-x < 3 X > 0 BÀI 2 Giải Miền nghiệm của hệ bất phương trình X - 2y < 0 -2 y - X < 3 là phần mặt phẳng không bị tô đậm (không kế các bờ). Miền nghiệm của hệ bất phương trình l + ị-KO 3 2 1 3y X + 9--7- < 2 - 2 2 X > 0 JX<1 3 2 3y 3 X- — <- yj k / / /S , 2 X3 1 X 2 3 Xx là phần mặt phẳng không bị tô đậm (bỏ , X y * một bờ là đường thang — + 4- = 1). _ ' _ 3 2 BÀI 3 y- 2 < A+ y=1 /X \3 2 1 X \ Xp - 3 \x 2 2 o X X 2 Có ba nhóm máy A, B, c dùng đê sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Đế sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Sô máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết đê sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau: Nhóm Sô máy trong mỗi nhóm Số máy trong từng nhóm đế sản xuất ra một đơn vị sản phẩm Loại I Loại II A 10 2 2 B 4 0 2 c 12 2 4 Một đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất để cho tông số tiền lãi cao nhất. mãn hệ bất phương trình 2x + 2y 0 •y T °. X + y 0 ỵ,- °, (1) Giải Giả sử hề sản xuất X sản phẩm I và y sản phẩm II (x > 0, y > 0) thì tống số tiền lãi thu được là L = 3x + 5y (ngàn đồng) và X, y phải thỏa Miền nghiệm của hệ (1) là miền đa giác ABCOD với A(4; 1), B(2; 2), C(0; 2), 0(0; 0), D(5; 0). Ta cũng đã biết L đạt max tại một trong cắc đinh này. Ta có bảng (x; y) (2; 2) (0; 2) (0; 0) (4; 1) (5; 0) L = 3x + 5y 16 10 0 17 15 Nhìn vào bảng ta thấy max L = 17 đạt khi X = 4; y - 1. Trả lời: Đế có tông số tiền lãi lớn nhất các sản phẩm I và II cần được sản xuất theo tỉ lệ 4 : 1 (tức là cứ sản xuất được 4 sản phám I thì phải sản xuất được 1 sản phẩm II). c. BÀI TẬP ĐẼ NGHỊ Xặc định miền nghiệm của mỗi bất phương trình hai ẩn sau: (x - 2) + 2(y - 1) > 2x + 4 b) 2x - ^2 y + 72 “ 2 < 0 Xác định miền nghiệm cua mỗi hệ bất phương trình hai ân sau: 4x - 5y + 20 > 0 y > 0 r x~ Xác định miền nghiệm của các bát phương trình hai ấn sau: X + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 - x) b) (1 + 73 )x - 1(1 - 73 )y - 2 -y + 5 > —— a) b) 2(x-l) + 7 < 4 2 4. Xác định miền nghiệm cúa các hệ bất phương trình hai ẩn: Ịx-y > 0 a) X - 3y 5 . b) 3x - 2y - 6 > 0 ỉỵ 2 2(x - 1) + < 4 Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ í 2x - y > 2 X - 2y 0 Hãy xác định (S) đẹ thấy rằng đó là một tam giác. Trong (S), hãy tìm điếm có tọa độ (x; y) làm cho biểu thức f(x; y) = y - X có giá trị nhỏ nhát, biết rằng f(x; y) có giá trị nhỏ nhất tại một' trong các đỉnh cúa (S).