Giải Toán 10: Bài 1. Cung và góc lượng giác

CHƯƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐƯỜNG TRÒN ĐỊNH HƯỚNG VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
GÓC LƯỢNG GIÁC
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác c D- Một điểm M chuyến động^trên đường tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác c D nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuôi là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm o bán kính R = 1.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bôn điếm A(l; 0), A’(-l; 0), B(0; 1),
ATI
B’(0; -1). Ta lấy A(l; 0) làm diêm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).	Ị g’(0
4. ĐỘ VÀ RADIAN
Đơn vị radian
Đơn vị độ đã được sử dụng đế đo góc từ rất lâu đời. Trong Toán học và Vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa đê đo góc và cung, đó là radian (đọc là ra-đi-an).
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có sô đo 1 rad.
Quan hệ giữa độ và radian
71	1 _	1180
1° = -—-rad và 1 rad =	
180	1 7t
Bảng chuyên đối thông dụng
Độ
30°
45°
60°
co
o
o
120°
135°
150°
180°
Radian
71
6
7t
4
71
3
71
2
271
y
371
T
5 71
~ẽ
7C
SỐ ĐO CỦA MỘT CUNG LƯỢNG GIÁC
Sô' đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điếm cuôì sai khác nhau một bội cúa 2ti. Ta viết:
sđ AM = (X + k27T, k 6 z
BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN
LƯỢNG GIÁC
Chọn diêm gốc A(l; 0) làm điếm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Đế’ biểu diễn cung lượng giác có số đo a trên dưỡng tròn lượng giác ta cần chonjliem cuối M của cung này. Điểm cuổì M được xác định bới hệ thức sđ AM = a.
B. GIAI BẢI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thế xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trường hợp này xảy ra?
Giải
Các diêm cuối trùng nhau khi các số đo hơn kém nhau một bội cúa 271.
BÀI 2
Đổi sô đo của các góc sau đây ra radian
18°	b) 57°30’
-25°	d)-125°45’
a) 18° = 0,3142 rad c) -25° = -0,4363 rad
Giải
57°30’ = 1,0036 rad
-125°45’=-2,1948 rad
BAI 3
Đổi sô' đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây:
71
3 k
a) —
b) „
18
16
c) -2
d) 1
4
Giải
71	 ,371	
77 = 10°	b) 77 = 33°45
JLo	lb
3
-2 «-114°35’30”	d) -7 ~ 42°58’19”
4
BÀI 4
Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có sô' đo
b) 1,5	c) 37°
	15	 .	
Giải
Độ dài cung có sô đo 77 là 4,19 cm (làm tròn).
15
Độ dài cung có số đo 1,5 là 30 cm.
Độ dài cung có sô đo 37°: Trước hết đổi độ ra radian
37° = 0,6458
Lấy kết quả 0,6458 nhân với 20 được l - 12,92 cm (làm tròn)
BÀI 5
Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo 5ti
b) 135°
4
IOtẽ
d) -225°
Õ7I
Giải
Cung -—là AM (M là trung điêm cúa A'B ).
Cung 135° cũng là cung AM ỏ' trên.
Cung —là ẤN (với A'N = |a'B').
Cung -225° cũng là cung AM ở trên.
BÀI 6
Trên đường^tròn lượng giác gốc A, xác định các diêm M khác nhau, biết rằng cung AM có số đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tùy ý)
k7i	b) k^	c) k-|
Giải
Cung AM có sô đo lả kj (k e Z) thì điểm AI trùng với A (nêu k chẩn) hoặc trùng với A’ (nếu k lế).
Cung AM có số đo k“ (k G Z) thì điếm AI trùng với A nếu k - 4n, n e Z; AI trùng với A’ nếu k = 4n + 2; M trùng với B nếu k = 4n + 1 và M trùng với B’ nếu k = 4n + 3, n e z.
Cung am có sô đo k— (k G Z) thì điếm M trùng với A nếu k = 6n (n e Z); AI trùng với AI ì nêu k = 6n + 1; M trùng với M9 nếu k = 6n + 2; M trùng với A’ nếu k - 6n + 3; M trùng với Mg nếu k - 6n + 4; AI trùng với AI4 nếu k = 6n + 5.
BÀI 7
Trên đường tròn lượng giác cho diêm AI xác định bởi sđ AAI = a (0 < 0L < 2 )• Gọi M], AI9, Mg lần lượt là điểm đối xứng của AI qua trục Ox, trục Oy và góc tọa độ. Tìm sô đo của các cung AAI|, AAI . ÁAÌ .
Giải
z~x	7t
sđ am - ot (0 < a < 2 ) suy ra sđ AA1, = -ct + k2n, k e z sđ AAI, = 71 - a + k2jĩ sđ AM.. = a + 71 + k2ĩi.
1.
2.
c. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
Sô' đo của cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó.
Độ dài cung tròn tỉ lệ với sô đo của cung đó.
Độ dài cung tròn ti lệ với bán kính của nó.
Ta coi chiều quay dương là chiều quay cua kim đồng hồ.
Nêu Ou, Ov là hai tia đô'i nhau thì số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) là (2k + 1)71, k e z.
Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Bờ hồ Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hói trong 15 phút mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ. Điền vào các ô trông trong bảng
Sô đo độ
o
O
1
-240°
3100°
Sô' đo radian
371-
4
1671
ir
6871
5
a) Đôi số đo độ của các cung tròn sau thành sô rađian (chính xác đên
phần nghìn):
21°30’ và 75°54’
Đối sô do> radian của các cung tròn sau ra sô đo độ:
2,5 rad và — rad (có thê dùng máy tính bỏ túi, xem bài đọc thêm).
Cho ngũ giẩt A0A1A?A3A4 nội tiếp đường tròn tâm 0 (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quaỵmủa kim đồng hồ). Tính sô đo (độ và radian) của các cung lượng giác A. A:, AA, (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, i j).