Giải Toán 10: Bài 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ 7 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn
Bất phương trình một ấn
Bất phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) (f(x) < g(x)) (1)
trọng đó f(x) và g(x) là những biểu thức của X.
Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) < g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).
Giải bât phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Khi bất phương trình có tập nghiệm rỗng thì ta nói nó vô nghiệm.
Điều kiện của một bất phương trình
Tương tự đôi với phương trình, ta gọi các điều kiện của ấn số X đê f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác đinh (hay gọi tắt là điều kiện) cúa bât phương trình (1).
Bất phương trình chứa tham số
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham sổ. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chắng hạn
(2m - l)x + 3 0
là những bất phương trình ẩn x tham số m.
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn
Hệ bât phương trinh (ẩn x) gồm một số bất phương trình ẩn X mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của X đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Đê’ giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT phương trình
Bất phương trình tương đương
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng lú hiệu “” để chỉ sự tương đương đó.
Phép biên đoi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đối nó thành những bất phương trình (hệ bâ't phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thê viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biển đổi tương đương.
Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biêu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x) o P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức -f(x) ta được bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x). Do đó P(x) < Q(x) + f(x) « P(x) - f(x) < Q(x)
Như vậy chuyến vê và đối dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biếu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đôi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đối điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) P(x).f(x) 0, Vx P(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, Vx
Bình phương
Nếu hai vế của bất phương trình không âm và bình phương hai vê bất phương trình đó mà lỉhòng làm tliay đổi điều kiện của nó thì ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) p2(x) 0, Q(x) > 0, Vx
Chú ý
Khi biến đồi các biếu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thế bị thay đối. Vì vậy, đế tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của X thỏa mãn diều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trinh mới.
Khi thực hiện phép nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dâu cua f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình. Ta minh họa điều này qua ví dụ sau.
Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp:
P(x), Q(x) cùng có giá trị dương, ta bình phương hai vế bất phương trình.
P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết
P(x) -Q(x) < -P(x) rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.
BÀI 1
Tìm các giá trị X thỏa mãn điều kiện cúa mỗi bất phương trình sau: 1 1 ’ , 1 X
a) - < 1 -
* , - X + 1 2x c) 2 X - 1 + \/x — 1 < ——
Kêt quả
a) X G R \ {0; -lị
Giải
b) X e R \ (1; 3; 2; -21
b) - ắ — y —
X - 4 X - 4x + 3
d) 2ựl - X > 3x + y
X + 4
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
d) X e (-co; l]\j-4|
X * -1
BÀI 2
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:
X2 + Vx + 8 -3
ựl + 2(x - 3)2 + Võ - 4x + X2 < -|-
_____ , 2
yjl + X2 - Vĩ. + X2 > 1
Giải
Vì X2 + 7x + 8 0, Vx > -8
Vì ựl + 2(x - 3)2 >1 và Võ-4x + X2 = Vl + (x-2)2 > 1, Vx
Vì Vl + X2 Vi + X2 - Vĩ + X2 < 0, Vx
BÀI 3
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
-4x + l>0và4x-ĩ<0
2x2 + 5 < 2x - 1 và 2x2 - 2x + 6 < 0
x+l>0vàx + l+ 2 > 2 _
' X + 1 X + 1
Vx — 1 > X và (2x + 1) Vx -1 > x(2x + 1)
. Giải
Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với -1 và đổi chiều ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).
Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương.
Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức 2 1 không làm thay
đối điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương.
Hai bất phương trình có điều kiện chung là X > 1. Trên tập các giá trị này của X thì biểu thức 2x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biếu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai (tương đương). BÀI 4
Giải các bất phương trình sau:
3x + l X - 2 1 - 2x
aj 2 - 3 4
b) (2x - l)(x + 3) - 3x + 1 < (x - l)(x + 3) + X2 - 5
Giải
a)
b)
3x + l x-2 l-2x 3(3x + 1) - 2(x - 2) 1 - 2x
—— —;— — :— < 0
14x + 14 + 6x-3 20x < -11
x < 20
(2x - l)(x + 3) - 3x + 1 < (x - l)(x + 3) + X2 - 5
BÀI 5
Giải các hệ bất phương trình:
6x + — < 4x + 7 7
15x - 2 > 2x + 7 3
a)
8x + 3
< 2x + 5
b)
2(x-4) <
3x-14
Giải
Giải từng bất phương trình của hệ
5 5
6x + 7 2x < 7 - „
„ 44 22 7
2xx< —
8x + 3 7 7
—--— 8x + 3 < 4x + 10
2 . „ 7 o 4x < " o X < —
4
Hệ đã cho tương đương với hệ
7 22
X < ——
7 _ 7
7 X < -
X < - 4
, , . 4 , _ T 1V 7
Giải tương tự, nghiệm của hệ là —— < X < 2.
O «7
1. Giải các bất phương trình: X + 2
a) —T— - x + l>x + 3
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
3x + 5
b)
2 3
d) (x + Tã )2 > (x - Tã )2 + 2
c) (1 - 72 )x < 3 - 272
Giải và biện luận các bất phương trình:
a) m(x - m) 2x + 3m
c) (x + l)k + X 4x+l
Giải các hệ bât phương trình:
ị5x - 2 > 4x + 5 Í2x + 1 > 3x + 4
a) ị5x-.48x-9
Giải và biện luận các bất phương trình:
a) m(x - m) > 2(4 - x) b) 3x + m2 > m(x + 3)
c) k(x - 1) + 4x > 5 d) b(x - 1) < 2 - X
Giải các hệ bất phương trình:
5x + 2 _
(1 - x)2 > 5 + 3x + X2 b)
< 3x + 1
a)
3
6 - 5x
(x + 2)3 < X3 + 6x2 - 7x - 5
2x2 + 5x - 3 - 3x + 1 1 < -5 vô nghiệm.
c) <
4x - 5
7
3x + 8
d)
> 2x - 5
X - 1 < 2x - 3
3x < X + 5
5-3x^ q —-— < X - 3
Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau có nghiệm:
3x - 2 > -4x + 5
a) ì ™ , o .n b)
3x + m + 2 < 0
Tìm các giá trị của m đế mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a)
12x + 7 0
b)
(x - 3)2 > X2 + 7x + 1 2m - 5x < 8