Giải Toán 10: Bài 3. Hàm số bậc hai

AnB = (3,6, 9}
Tập xác định D = R.
Bảng biến thiên:
a > 0
§3. HAM SO BẠC HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
X
-OG
b
~2a
y
A
4a
+ 5«
a < 0
• Đồ tiy của hàm số y = ax2 + bx + c là một đường parabol c điểm í _ 2^’~4a ;• Trong đó A = b2 - 4ac, nhận đường thẳng
ó đỉnh tại b
x - 2a
* Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c có thế suy ra từ đồ thị của hàm
số y = ax2 bằng cách tịnh tiến sang trái (sang phải) b
_b_
2a
đơn vị nếu -7- 2a
> 0 (nếu 77— < 0) song song với trục hoành, sau đó tịnh tiến song song
. „ -Ã	- A
đơn vị nêu — > 0 (nêu —— < 0) 4a	4a
2a
với trục tung lên trên (xuổng dưới)
-A
4a
Đế vẽ parabol y = ax2 + bx + c nói chung ta thực hiện theo 4 bước như sau:
.	f b A
Xác định tọa độ đỉnh I I _2a’~4^
Vẽ trục đôi xứng X = - —.
Xác định giao diêm của parabol với các trục tọa độ (nếu có); có thế xác định thêm một số điểm trên đồ thị.
Dựa vào kết quả đó vẽ parabol.
làm trục đối xứng. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1	
Xác định tọa độ của đinh và các giao điếm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol:
y = X2 - 3x + 2	b) y = -2x2 + 4x - 3
y = X2 - 2x	d) y = -X2 4- 4
Giải
y = X2 - 3x + 2 có đỉnh I í —; - — )
+ Giao điếm của đồ thị y = X2 - 3x + 2 với Oy là (0; 2).
+ Giao điếm của đồ thị y = X2 - 3x + 2 với Ox là (1; 0) và (2; 0).
y = -2x2 + 4x - 3 có đỉnh I (1; -1)
+ Giao với Oy tại điểm (0; -3).
+ Parabol không có giao điểm với Ox.
y = X2 - 2x có đỉnh I (1; -1)
+ Giao của đồ thị với Oy là điếm (0; 0). Giao điểm của đồ thị với Ox là các điểm (0; 0) và (2; 0).
y = -X2 + 4 có đỉnh I (0; 4)
+ Giao với Oy là (0; 4).
+ Giao với Ox là hai điếm (-2; 0) và (2; 0).
BÀI 2
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y = 3x2 - 4x + 1	b) y = -3x2 + 2x -1
c) y = 4x2 - 4x + 1	d) y = -X2 + 4x - 4
y = 2x2 + X + 1	f) y = -X2 + X - 1
Giải
a) Bảng biến thiên:
-X
_2_
3
+X
+X
+x
Đtthị: ,f2. 1
-Đinh:I[ị;-ị
Trục đối xứng: X = 3
Giao điếm với trục tung A(0; 1).
Giao điểm với trục hoành BI ỉ; o]; C(l; 0).
b) y - -3x2 + 2x - 1	v 3
Tập xác định D = R.
Chiều biến thiên: hàm số đồng biến trên^khoảng
-coi — j , nghịch biến trên khoảng í 3 ’ + 00
Bảng biến thiên:
X
-00	1	+OC
3
y
+ 00 +00
fy : 1 '3
0
:	X
2
1
- -
3
ĩ
/ 1
í \*
■	 + i 1	(
Đồ thị có trục đôi xứng là đường thẳng X = ^, tọa độ đinh ! cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; -1) không cat trục hoành.
• Học sinh tự giải các câu c), d), e), f).
BÀI 3
Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết ràng parabol đó
Đi qua hai điếm M(l; 5) và N(-2; 8).	3
Đi qua điếm A(3; -4) và có trục đôi xứng là X =	9 .
Có đỉnh là 1(2; -2).
Đi qua điếm B(-1; 6) và tung độ cúa đỉnh là -4 .
Giải
Parabol V = ax'2 + bx + 2 đi qua hai điếm M(l; 5) và N(-2; 8) nên:
5 = a.l2+b.l + 2	[a + b = 3 <fa = 2
8 = a(-2)2 + b(-2) + 2 J 4a - 2b = 6	■ b = 1
Vậy parabol là: y = 2x2 + X + 2
Theo đề bài:
-4 = a.32 + b.3 + 2	c
9a + 3b = -6
2 2a ĩ 3a + b = -2 b = 3a
b =-1
I-6a = -2b
Vậy parabol đó là: y = - — X c) Theo đề bài:
-1- t
2a
A
4a
Ib = -4a
-4a
4ac
= -2
4a a = 1
Vậy paraboi
d) Theo đề bài:
b2 = 16a [b = -4 là: y = X2 - 4x + 2
6 = a(-l)2 + b(-l) + 2
_ A - Ã
4a 4
a - b = 4 b2 - 9a = 0
Vậy các parabol thỏa mãn bài toán là: y = X2 - 3x + 2 và y = 16x2 + 12x + 2
BÀI 4
a - b = 4 b2 - 4ac = a
ì::1,
[b =-3 Ja = 16 lb = 12
Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh íà 1(6; -12).
Ta có hệ phương trình:
Giải
a(8)2 + b(8) + c = 0
-± = 6 2a
4ac - b2
a = 3 b = -36 c = 96
Parabol: y = 3x2 - 36x + 96
4a
BÀI 1
c. BÀI TẬP NÂNG CAO
Xác định hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c, biết rằng đồ thị của nó:
Có trục đối xứng là X = 1 và cắt trục tung tại điểm (0; 4).
Có đỉnh là K-l; -2).
Đi qua hai điếm A(0; -1) và B(4; 0).
Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M (1; -2).
Giải
Các hàm số bậc hai cần xác định có chung hệ số a = 2. Như vậy để xác định hàm số ta phải^xác định hai hệ số b và c còn lại từ các điều kiện đã cho.
Ta có: - — = 1 b = -2a = -4 ; 4 = 2.0 + b.o + c c = 4 Như vậy hàm số cần tìm là y = 2x2 - 4x + 4.
Ta có:	= -1 => b = 2a = 4; - A = -2 => 4ac ~b = -2
2a	4a	4a
Thay a = 2 và b = 4 vào (1) ta được ——— = -2 c = 0.
, * ' 8
Như vậy hàm sô cần tìm là y = 2x2 + 4x.
Vì parabol đi qua A(0; -1) và B(4; 0) nên ta có hê: fc = -1
(1)
[-1 = 2.0 + b.0 + c 0 = 2.16 + 4.b + c
c = -1 32 + 4.b + c = 0
31
4
Hàm số cần^tìm là: y = 2x2 - - X-1
d) Ta có: - A = 2 b =-8 ; -2 = 2.1 + b.l + c
2a	-2 = 2- 8 + c=>c = 4
Vậy hàm số cần tìm là y = 2x2 - 8x + 4.
BÀI 2	
Cho hàm số y = -X2 + 3x - 2 có đồ thị là (P).
Dùng đồ thị (P) để giải và biện luận phương trình:
x2-3x + 2 + m = 0
Tìm giá trị của k để đường thẳng y = kx + 1 - k cắt (P) tại hai điểm.
Giải
a) Vẽ đồ thị (P): -X2 + 3x - 2
73.1'
Tọa độ đỉnh 2’4
Khi X = 0 => y = -2 và y = -2 thì X = 3.
Khi X = 0 =>_- X2 + 3x - 2 = 0.
7 = 1
- Trục đối xứng: x = 2
Phương trình đã cho có thể viết: -X2 + 3x - 2 = m
Đặt: yj = -X2 + 3x - 2
Đồ thị là (P)
y2 = m. Đồ thị là đường thẳng (D) song song với trục hoành Ox. Do đó:
Nếu m > 4 : đường thẳng (D) không cắt (P).
Phương trình vô nghiệm.
Nếu m = -y: đường thẳng (D) tiếp xúc với (P).
,	4 z , . A ,7	3
Phương trình có nghiệm kép X = —.
Nếu m < 4 : đường thắng (D) cắt (P) tại hai điểm.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt Xp x2.
Gọi (d) : y = kx + 1 - k
(d) cắt (P) thì phương trình hoành độ giao điểm là:
-X2 + 3x-2 = kx + l- k X2 + (k - 3)x + 3 - k = 0
Ta có: A = (k - 3)2 - 4(3 - k)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm thì: A > 0
 (k - 3)2 - 4(3 - k) > 0 « (k - 3)2 + 4(k - 3) > 0 rk > 3 (k - 3)(k + 1) > 0 k <
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Tìm parabol y = ax2 + bx + c biết parabol đó
Đi qua ba điếm A(0; -1); B(l; -1); C(-l; 1).
Đi qua điểm D(3; 0) và có đỉnh 1(1; 4).
BÀI 2	2
Cho hàm số: y = — - X + 1
Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị p.
Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A(2; 0) và có hệ góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (P) và (D).
Một đường thẳng (A) đi qua B(0; 2) và cắt (P) theo một dây cung nhận B làm trung điểm.
Tìm phương trình đường thẳng (A).
BÀI 3
Cho hàm số: y = X2 - X - 2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).	I
Viết phương trình đường thẳng (D) qua M(l; -1), có hệ số góc =
Tìm tọa độ giao điếm A và B của (C) và (D).
Cho điểm E(0; -2). Chứng minh rằng: AEB = 90°
BÀI 4
Cho hàm số: y = x(4 - x) - 2
Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Biện luận theo m sô' giao điểm của (C) và đường thẳng (D) : X + y - m = 0.
Trong trường hợp (D) cắt (C) tại 2 điếm M, N. Tìm quỹ tích trung diêm I của đoạn MN.
BÀI 5
Cho hàm số: y - ax2 + bx + c (P)
Xác định a, b, c; biết rằng (P) đi qua điếm AÍO; - 3) và tiếp xúc với đường thẳng y = -2(3x + 1) tại điếm B có hoành độ bằng 1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (P) ứng với a, b, c vừa tìm được.
Cho đường thẩng (D) đi qua điểm C(0; -2) và có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (D) và (P).
Trường hợp (D) cắt (P) tại hai điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.