Giải Toán 10: Bài 1. Đại cương về phương trình

CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Điều kiện của phương trình là những điều kiện của ấn để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.' Hai phương trình cùng vô nghiệm là tương đương.
Đặc biệt, Vk * 0 ta có
f(x) = glx) o kf(x) = kglx)
• Nếu f(x) xác định với mọi giá trị cúa X tại đó g(x) - 0, còn glx) xác định với mọi giá trị cúa x tại đó f(x) = 0 thì
f(x).g(x) = 0
f(x) - 0 g(x) = 0
Đối với bất kì các hàm fix) và glx) và bất kì số tự nhiên n ta có fix) = glx) => [f(x)]n = [g(x)]"
Đặc biệt, • Nếu n là số tự nhiên lẻ tnì fix) = g(x) [f(x)]n = [g(n)]"
Nếu f(x) > 0; g(x) > 0 thi
fix) = glx) o [fix)]2 = [gin)]2
|f(x)| = |g(x)| ' fix) = glx) hoặc flx)'= -glx)
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ấn), ngoài các chữ đóng vai trò ấn số còn có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận phương trình chứa tham số tức là xem xét tùy theo các giá trị của tham số, khi nào phương trình vô nghiệm, khi nào phương trình có nghiệm, có bao nhiêu nghiệm và viết các nghiệm đó.
B. GIAI BÀI TẶP SẢCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Cho hai phương trình 3x = 2 và 2x = 3
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi
Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?
Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?
Giải
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta được 5x = 5 X = 1
Tập nghiệm của phương trình mới nhận sau phép cộng khác với các
tập nghiệm của phương trình đã cho ban đầu. Vậy phương trình có được do cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho không tương đương với phương trình nào.
Phương trình này cũng không phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình. Bởi vì nghiệm của một trong hai phương trình đã cho không phải là nghiệm của phương trình mới.
BÀI 2	
Cho hai phương trình 4x = 5 và 3x = 4
Nhân các vế tương ứng cúa hai phương trình đã cho. Hỏi
Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?
Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?
Giải
Phương trình nhận được không tương đương với một trong hai phương trình đã cho vì chúng không có cùng tập nghiệm.
Phương trình nhận được không là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho vì nó không chứa tập nghiệm của một trong hai phương trình đã cho.
BÀI 3
Gi ả i các phương trình: 9
	. ơnơtrị
a) v3-x + x = V3-x + l
c)
Vx - 1
X + Vx - 2 = V2 - X + 2 d) X' - Vl - X = Vx - 2 + 3
Giải
a) Điều kiện: 3 - X > 0	 X < 3
Khi đó: vả - X + X = \J3-X + 1 X = 1
Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm X = 1.
X - 2 > 0
Điều kiện: I 2 - X > 0
 X = 2
Khi đó: X + Vx - 2 = V2 - X + 2 o X = 2 là nghiệm.
X- _	9
Vx — 1 Vx - 1
Điều kiện: X-1>OX>1
X = 3
Phương trình X2 = 9 „ _ q X — ó
Kết hơp vời điều kiên, ta có phương trình có nghiệm X = 3.
X2 - Vl - X = Vx - 2 + 3
J1 - X > 0	í X < 1
Điều kiện: I x _ 2 > 0	I X > 2 ■ Không có giá trị nào thỏa.
BÀI 4
Giải
Vậy phương trình vô nghiệm.
Điều kiện: X + 3	0 X -3. Khi đó:
,	2	X + 5	-X-3
x+3 x+3	x+3
«x+l-l = ox = o
Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm X = 0.
Điều kiện: X - 1 / Oox* 1. Khi đó:
2x + A = A
X —1 X —1
3 - 3x
2)	Ỳ X - 2
Điều kiện: x-2>0x>2
Khi đó(l)x2-4x-2 = x- 2x2-5x = 0
Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm X - 5. 3
Điều kiện X > —.
2	3
=> 2x2 -x-3 = 2x-3=>x = 0 (loại), X = 2 (loại)
Phương trình vô nghiệm.
c. BÀI TẬP BỔ SUNG
BÀI 1
Xác định m để hai phương trình sau tương đương
X2 + X + 1 - 0 (1) và X2 - 2(m + l)x + m2 + m - 2 = 0 (2)
Giải
Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm. Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức là A’ = (m + l)2 - (m2 + m-2)m<-3
BÀI 2
Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:
yjx - 2^+ X = 1 + ựx - 2	b) ựi + X + ựx + 2 = 0
x + /TTT = 1	d) Vx + 2.7x-2 + X = x/x2 -4 - 3
V	• 9 •
Giai
Điều kiện: X > 2. Từ phương trình suy ra X = 1, giá trị này không thỏa mãn điều kiện của phương trình, vậy phương trình vô nghiệm.
Các căn thức đều không âm, tổng của chúng bằng 0 chỉ khi từng căn thức bằng 0, suy ra đồng thời X = -1, X = -2 (vô lí).
Điều kiện: X > 1, khi đó vế trái của phương trình lớn hơn 1. Vậy phương trình vô nghiệm.
Điều kiện: X > 2. Từ phương trình suy ra X = -3, không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình vô nghiệm.
BÀI 3
Các cặp phương trình sau có tương đương không, tại sao?
Vx - 1 = X và (2x + l)ựx - 1 = x(2x + 1)
ựx2(x - 3) = 0 và |x| .x/x-3 = 0
Ợ(x + l)(2-x) = 0 và ựl + X.V2-X = 0
2x	X2	2x 2
/„ , iV - T7T và —— = X
(x + 1) X + 1	x + 1
Giải
Điều kiện của hai phương trình là X > 1, khi đó 2x + 1 > 0, do đó hai phương trình tương đương.
Phương trình Jx2(x-3) = 0 có hai nghiệm X = 0; X = 3. Giá trị X = 0 không thóa mãn điều kiện (do đó không là nghiệm) của phương trình |xị 7x - 3 = 0 . Vậy hai phương trình không tương đương.
Chú ý: Điều kiện của phương trình ựx2(x - 3) = 0 là
Hai phương trình tương đương vì cùng có tập nghiệm là (-1; 2).
Điều kiện của hai phương trình là X -1. Nhân hai vế của phương
trình thứ nhất với X + 1	0 ta được phương trình thứ hai. Vậy hai
phương trình tương đương.
BÀI 4
Giải các phương trình:
ổx	3x	_	
a) 2x + 77? = 2 + 77?	b) Vx2 + 2x + 2 = 2x + 1
x X I a X 1	,	í 
/	- Ị ■ ■ o	d) Vx.V-x = a
vx-2 yx-2
Giai
Điều kiện: X* 1. Khi đó phương trình tương đương với 2x = 2 X =
Giá trị này không thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình vô nghiệm.
Vì X2 + 2x + 2 = (x + l)2 + 1 > 0 Vx nên phương trình xác định với mọi X. Bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình hệ quả:
X2 + 2x + 2 = 4x2 + 4x + 1
"x = -1
o 3x2 + 2x - 1 - 0 	1
X = 4
3
trình có một nghiệm X = —.
Điều kiện: X > 2, khi đó phương trình tương đương với X = a.
Nếu a > 2, phương trình có nghiệm X = a.
Nếu a < 2, phương trình vô nghiệm.
Điều kiện: X > 0 và -X > 0, tức là X = 0.
Nếu a = 0, phương trình có nghiệm X = 0.
Nếu a # 0, phương trình vô nghiệm.
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
_ V _	•	•
BÀI 1
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm
của nó:
\7 = V-x
?3 - X	/-—y
7 7 = X + Vx - 3 X - 3
BÀI 2
Giải các phương trình sau:
X + 777 = 2 + 7x -1
3x - 7x - 2 = 72 - x + 6
X + 777 = 77
X + 7x -1 = 0,5 + 7x — 1
Thử lại, thấy giá trị X =j-l không thỏa mãn phương trình. Vậy phương
đ' 27x - 5 7x - 5
1 2x - 3
b) x+ x-2 = x-2 d) (x2 - X - 2)7x + 1 = 0
2ựx - 5 7x - 5
BÀI 3
Giải các phương trình sau:
1 2x-l
x + ~r =
x - 1 X — 1
(x2 - 3x + 2)7x - 3 = 0
BÀI 4
Giải các phương trình sau bằng cách bình phương hai vế của phương trình: a) 7x-3 = 79 - 2x	b) 7x-l = X - 3
2ịx-l| = x + 2	d) |x-2| = 2x-l •
BÀI 5
Dựa vào tập xác định, hãy nêu nhận xét về tập nghiệm các phương trình sau:	1
X + 7x - 3 = ,	.
^2-x
X2 + X + 7x -1 = 7l - X + 7x
7x - 2 - 73 - X = 1 - X + 72 - X
BÀI 6
Giải các phương trình:
X + 7x -3 = 3 + 73-X
X2 + y2 - 2x + 2y + 2 = 0
x + y + z + 8= 27x - 1 + 4y]y - 2 + 67z - 3